抽样分布

目录

• 概念
• 常用统计量
• 三大抽样分布
• 正态总体中的抽样分布

概念

统计学利用概率论来研究具有随机性的现象。与概率论相反，通常研究对象的分布未知，需要通过样本数据的分析来确定服从什么分布。

• 总体顾名思义就是研究或考察对象的全体

• 总体中的每一个成员称为个体

• 总体中包含的个体数量叫做总体的容量

• 为了研究总体的特性从总体中抽出部分个体进行观察和试验，从总体中抽出的部分个体称为样本

• 统计量是包含了样本信息的函数

• 抽样分布研究统计量的分布，不包含未知参数且尽可能多地概括了样本信息。

常用统计量

• 样本均值 (X)

• 样本方差 (S^2=displaystylefrac 1 {n-1} ...)

• 样本标准差 (S)

• 样本 (k) 阶原点矩 (A_k)

• 样本 (k) 阶中心距 (B_k)

• 定理：(EX=mu, DX=sigma^2)，则有 (Eoverline X = mu, Doverline X = sigma^2 /n, ES^2 = sigma^2)

三大抽样分布

• 独立随机变量 (X_{1..n}) 都服从 (N(0,1))，则 (chi^2 = displaystyle sum_{ i = 1 }^{ n } X_i^2) 服从自由度为 (n) 的 (chi^2) 分布。性质：(E(chi^2) = n, D(chi^2) = 2n)，可加性

• 设 (Xsim N(0,1), Y sim chi^2(n)) 且相互独立，则 (T=displaystyle frac{X}{ sqrt{frac Y n}}) 服从自由度为 (n) 的 (t) 分布。

• 两个相互独立的 (chi^2) 分布的比称为 (F) 分布，即 (X sim chi^2(n_1),Y sim chi^2(n_2))，则 (F = frac{X/n_1} {Y/n_2}) 服从 (F(n_1,n_2)) 分布。

例：((X,Y,Z))，它们相互独立，分别服从 (N(0,1))，则 (X^2 + Y^2 + Z^2 sim chi^2(3))，(displaystylefrac{X} {sqrt{(Y^2 + Z^2)/2}} sim t(2))，(displaystylefrac{2X^2} {Y^2 + Z^2} sim F(1, 2))

正态总体中的抽样分布

考虑 (Xsim N(mu, sigma^2), X_isim N(mu_i, sigma_i^2))，相互独立

（以下表述为了方便理解记忆，严谨化请自行移项）

• 样本均值分布：(X sim N(mu,displaystylefrac{sigma^2}{n}))

• 样本均值差的分布：(ar{X_1}-ar{X_2} sim N(mu_1-mu_2,displaystylefrac{sigma_1^2}{n_1}+displaystylefrac{sigma_2^2}{n_2}))

• 样本方差的分布：({(n-1)S^2} sim chi^2(n-1){sigma^2})

• 样本方差比的分布：(displaystylefrac{S_x^2}{S_y^2} sim displaystylefrac{sigma_1^2}{sigma_2^2} F(n_1-1,n_2-1))

• 样本 (B_2) 分布：(displaystyle sum_{i=1}^n (X_i-overline X)^2 sim sigma^2 chi^2(n-1))

• 样本均值分布（用 (S)）：(displaystyle frac {overline X - mu} {displaystyle frac S {sqrt n}} sim t(n-1))

• (sigma_1=sigma_2=sigma) 时，均值差的分布（用 (S)）（打不动了）