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  • 肉眼可见的 Z 变换性质

    本文对双边 Z 变换的部分常见性质做了简要的剖析,希望能展示一种轻松的、形象的理解Z变换性质的方法。

    背景

    Z 变换究竟在做什么?(X(z)) 究竟代表了什么?

    (z=re^{jomega}),是一个普普通通的伸扭,那么 (x(n)=z^n) 也就构成了一个基本的信号:每拍在之前一拍位移的基础上多做一个 (z) 的伸扭。显然,离散时间傅里叶变换是 (r=1) 的特例,此时只有伸缩而没有扭转。

    现在 Z 变换要做的事情,就是将一个复杂信号 (x(n)),分解成若干个 (z^n) 的线性组合的形式。其中,(z^n) 分量的多寡(准确还包括相位的偏移),我们用 (X(z)) 来表示,于是,你就得到了一个并不严格的抽象表达

    [x(n)=sum_{z} X(z)cdot z^n ]

    先不管这玩意怎么算。我们考虑如何求出 (X(z)),你仍然可以借助“投影”或者“相似度”的类比来理解 Z 变换的式子

    [X(z)=sum_{n=-infty} ^ infty displaystyle frac {x(n)} {z^n} ]

    言归正传,本文我们讨论 Z 变换的性质,也就是我们知道一个家伙的 Z 变换,我们想要轻松地推出一个和它长得很相似的家伙的 Z 变换。结合 Z 变换的意义,我们知道信号 (x(n)) 中任意 (z) 分量的含量(还包括相位偏移),想要推出另一个信号 (x_1(n)) 中任意 (z) 分量的含量。

    因此,在形象理解 Z 变换性质的过程中,应当紧扣:信号 (x_1(n)) 中的 (z) 分量,对应着信号 (x(n)) 中的哪些分量?信号 (x(n)) 中的 (z) 分量,在经过一些小修改后,变成了信号 (x_1(n)) 中的什么?更确切地,一个基本单元 (z) 在经过那些小修改后,变成了什么?

    时移性质

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (x(n-n_0) leftrightarrow displaystyle frac {X(z)} {z^{n_0}})

    我们盯住 (x(n)) 中的一个 (z),现在整个信号延迟了 (n_0) 拍,也就意味着 (x_1(n)=x(n-n_0)),相当于这个基本单元后退 (n_0) 拍,因此它按 (z) 倒转 (n_0) 次,即 (displaystyle frac {X(z)} {z^{n_0}})

    尺度变换/频移特性

    因为这里的尺度变化和频移特性本质上是一回事,所以我们放在一起说,直接用一个复频移特性来代替。

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (z_0^n x(n) leftrightarrow X(displaystyle frac z {z_0}))

    由于我们让整个信号每拍都多做一个 (z_0) 的伸扭,那么现在每拍做 (z) 伸扭的原来每拍做 (displaystyle frac z {z_0}) 的伸扭,所以现在的 (z) 对应着原来的 (displaystyle frac z {z_0})。太轻松了!

    这里我们还需要关注这个性质的两个推论,分别是 (|z|=1)(|z|=z) 时的情况,对应着的不妨称作纯频移特性和纯尺度变换特性。

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (e^{jomega_0 n} x(n) leftrightarrow X(displaystyle frac z {e^{jomega_0}}))

    很简单,每拍多转一个 (omega_0),对应着原来的就是 (z) 的扭度减少 (omega_0) 的分量。

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (r_0^n x(n) leftrightarrow X(displaystyle frac z {r_0}))

    同理,每拍多伸展一个 (r_0) 倍,对应着原来的 (z) 的伸缩率减少 (r_0) 倍的分量。

    时域反转

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (x(-n) leftrightarrow X(z^{-1}))

    时域反转,那就让所有基本信号 (z) 反过来转,变成 (z^{-1})

    共轭对称性

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (x^*(n) leftrightarrow X^*(z^*))

    时域取共轭,对于一个 (z) 来说,无非就是它的旋转方向变了,但是伸缩方向不变。同时,因为 (X(z)) 描述的伸扭代表了 (z) 的量和相,这个初相角,也受共轭影响而取反。因此,不仅需要对 (z) 取共轭,还需要对 (X) 取共轭。

    时域内插

    首先说说什么是时域内插,它定义为

    [x_{(k)}(n) = [k|n]cdot x(frac n k) ]

    考虑一个简单的栗子,(x(n)=[1,2,3,4,...]),做 (k=2) 的时域内插,变成 (x_{(2)}(n)=[1,0,2,0,3,0,4,0,...])

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (x_{(k)}(n) leftrightarrow X(z^k))

    唔,这个有点费劲。我是否可以模糊地说,一个 (z) 在经过时域内插后,变成了 (z^{frac 1 k})

    所以这里还是最好从式子上看一下,即

    [X_k(z)=sum_{n=-infty}^{infty} x(frac n k) z^{-k}=sum_{n=-infty}^{infty} x(n)z^{-nk}=X(z^k) ]

    时域卷积

    (x_1(n)leftrightarrow X_1(n), x_2(n)leftrightarrow X_2(n)),则 (x_1(n) * x_2(n) leftrightarrow X_1(z) cdot X_2(z))

    我们已经知道,两个系统的叠加作用在时域上表现为卷积的形式。那么在频域上呢?系统只是对一个基本信号 (z) 提供一个伸扭,那么自然,两个系统的合作用就是它们伸扭的叠加。

    时域求和性质就是时域卷积性质的推论,在这里不做赘述。

    z域微分特性

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (nx(n) leftrightarrow -z displaystyle frac {dX(z)} {dz})

    这个真的不好说。只能大概说,对序列做 (n) 的线性加权后,频域中关于 (z) 的变化特性被凸显出来?

    初值/终值定理

    初值定理描述了对于因果序列,根据 Z 变换求时域初值的方式

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (x(0)=displaystyle lim_{z o infty} X(z))

    初值定理是非常直观的,盯住 Z 变换的定义,

    [X(z)=x(0)+sum_{n=1}^infty frac {x(n)} {z^n} ]

    (z o infty) 后,只有 (n=0) 时我们才能取得对答案有贡献的值。

    事实上,我们可以稍作修改,

    [z(X(z)-x(0))=x(1) + zsum_{n=2}^infty frac {x(n)} {z^n} ]

    类似这样,我们可以求出任意拍 (n) 时的 (x(n)),即

    [x(n) = lim_{z o infty} z^n [X(z)-sum_{k=0}^{n-1} frac {x(k)} {z^k}] ]

    类似初值定理,当 (x(n)) 的终止存在时,有终值定理

    (x(n) leftrightarrow X(z)),则 (x(infty)=displaystyle lim_{z o1} [(z-1)X(z)])

    上面我们省略了一些条件。在初值定理中要求极限存在。在终值定理中,要求 (X(z)) 除了 (z=1) 处最多有一个一阶极点,其他极点都必须在单位圆内。

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