可持久化0-1 Trie 简介

Trie树是字符串问题中应用极为广泛的一种数据结构，可以拓展出AC自动机、后缀字典树等实用数据结构。

然而在此我们考虑0-1 Trie的应用，即在序列最大异或问题中的应用。

这里的异或是指按位异或。按位异或有很多重要的性质。比如可拆分性，每个位可以进行单独处理后线性合并得到最终结果。

同时按位异或也是可减的。比如0111 ^ 1010 = 1101, 那么 1101 ^ 1010 = 0111. 证明从略。

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首先我们考虑0-1 Trie的版本，也就是

给定一个序列a[i], 每次询问一个数x与a[i]中各元素能得到的按位异或的最大值。

暴力自然是O(n^2)的。但是我们想到之前的可拆分性，是否能将每个位单独考虑？但是，第一位的选择又会限定第二位的选择范围。即选择第一位是0或1后，第二位的选择就不能从a[i]中的所有元素中进行选择，而要将a[i]分为两份。我们很容易发现这是一个类似树形的问题，所以我们考虑使用树形数据结构。而鉴于多个串根据前缀进行选择性划分的特点，我们使用Trie树来从高位到低位地维护这些0-1串，即0-1 Trie。

注意到这种从高位到低位的选择一定是全局最优的。也就是说，对于异或结果，从高到低考虑，每一位能设成1就设成1. 证明可以利用反证法。

这样我们就利用一个贪心完成了这样的事情。这样的处理是O(n+m)的（常数有32倍）

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什么时候需要使用可持久化0-1 Trie呢？我们想，在使用可持久化线段树维护区间K大值得时候，可持久化是否起到了限定区间的作用？同理，在这里，我们也是用可持久化来实现区间的限定。

重要性质：Trie树的节点存在性满足可减性。

我们可以把节点的存在性记录改为节点的数目记录，这样用root[r]中某节点的数目减去root[l-1]中某节点的数目，就可以得到区间中是否存在某个节点。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ch[1000005][2],val[1000005],cnt[1000005],root[1000005],ts[105],ind,n,m;

void insert(int p,int p0,int dep) {
    ch[p][0]=ch[p0][0];
    ch[p][1]=ch[p0][1];
    if(dep==30) return;
    if(ch[p0][ts[dep+1]]==0) {
        ch[p][ts[dep+1]]=++ind;
        val[ind]=ts[dep+1];
        cnt[ind]=1;
        insert(ind,ch[p0][ts[dep+1]],dep+1);
    }
    else {
        ch[p][ts[dep+1]]=++ind;
        val[ind]=ts[dep+1];
        cnt[ch[p][ts[dep+1]]]=cnt[ch[p0][ts[dep+1]]]+1;
        insert(ch[p][ts[dep+1]],ch[p0][ts[dep+1]],dep+1);
    }
}

void trie_insert(int rtx,int num) {
    for(int i=1;i<=30;i++)
        ts[i]=(num>>(30-i))&1;
    insert(root[rtx],root[rtx-1],0);
}

int xormax(int rtx,int rty,int num) {
    int p=root[rtx], q=root[rty], ans=0;
    for(int i=29;i>=0;i--) {
        if((num>>i)&1) {
            if(cnt[ch[q][0]]-cnt[ch[p][0]]) ans=ans*2+1, p=ch[p][0], q=ch[q][0];
            else ans=ans*2, p=ch[p][1], q=ch[q][1];
        }
        else {
            if(cnt[ch[q][1]]-cnt[ch[p][1]]) ans=ans*2+1, p=ch[p][1], q=ch[q][1];
            else ans=ans*2, p=ch[p][0], q=ch[q][0]; 
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int t;
        cin>>t;
        root[i]=++ind;
        trie_insert(i,t);
    }
    cin>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int t1,t2,t3;
        cin>>t1>>t2>>t3;
        t1--;
        cout<<xormax(t1,t2,t3)<<endl;
    }
}