萌萌的网络流~~

一、有上下界的网络流：

　　sgu 194 （无源汇的上下界网络流）：

　　题意：给出一个网络，每条边有上下界，问是否存在可行流。如果存在，输出经过每条边的流量。

　　建图：每条边必须有li的流量，那么新建超级源点和超级汇点，然后统计每个点的“入度”和“出度”，然后源点和每个点建一条流量为“入度”的边，每个点和汇点建一条流量为“出度”的边。为了流量平衡，每条边取原有上界-原有下界为流量，然后加入网络。（还有种做法是每个点统计出度和入度，判断是正是负来决定它和源点还是汇点建边。这种做法运行效率更高一些。）

　　题目给的图因为没有源点和汇点，所以我觉得统计最大流是没有意义的。对于我们自己建的图，判断一下每条边的下界的和是否等于最大流，以此来判定是否有可行流就行了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <ctime>
#define FORD(i,r,l) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define req(i,l,n) for(int i=(l);i<(n);i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=205+1,maxm=120000;
const LL jx=0x7fffffffffffffff;

int pos,ta[maxn],lin[maxm],sd[maxm],sl[maxm];
void biu(int s,int t,int c)
{
    ++pos; lin[pos]=ta[s]; ta[s]=pos; sd[pos]=t; sl[pos]=c;
    ++pos; lin[pos]=ta[t]; ta[t]=pos; sd[pos]=s; sl[pos]=0;
}

int nn;
int h[maxn];
int vh[maxn];
int aug(int v,int deta)
{
    if (v==nn) return deta;
    int mins=nn-1,augc,bak=deta;
    for (int i=ta[v];i;i=lin[i])
        if (sl[i])
        {
            if (h[v]==h[sd[i]]+1)
            {
                augc=min(deta,sl[i]);
                augc=aug(sd[i],augc);
                deta-=augc;
                sl[i]-=augc; sl[(i+1^1)-1]+=augc;
                if (!deta) break;
                if (h[nn-1]>=nn) return bak-deta;
            }
            mins=min(mins,h[sd[i]]);
        }
    if (bak==deta)
    {
        vh[h[v]]--; if (vh[h[v]]==0) h[nn-1]=nn;
        h[v]=mins+1; vh[h[v]]++;
    }
    return bak-deta;
}

int n,m;
int rd[201],cd[201];
int pipel[maxm];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v,l,c;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&l,&c);
        pipel[i]=l;
        rd[v]+=l; cd[u]+=l;
        biu(u,v,c-l);
    }
    nn=n+2;//--
    LL sum=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (rd[i]) biu(nn-1,i,rd[i]);
        if (cd[i]) biu(i,nn,cd[i]);
        sum+=rd[i];
    }
    LL flow=0;
    while (h[nn-1]<nn) flow+=aug(nn-1,0x7fffffff);
    if (sum!=flow) puts("NO
");
    else
    {
        puts("YES");
        for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d
",pipel[i]+sl[i*2]);
    }
    return 0;
}

　　（提示：如果第7个点WA了，说明你没开long long或者数组范围没够。）

　　Regionals 2013 - Europe - Southwestern - It Can Be Arranged （有源汇的上下界网络流最小流）：

　　大致思路是先弄成无源汇，然后跑一遍maxflow，这样就能保证下界是满足的了。并且因为刚好是满足下界的，所以这样的网络流是最小流。这个最小流指的是在网络中流动的，而不是说的从源点到汇点的最小流。

　　这题要注意的是，连边（汇点，源点）后，虽能算出源点到汇点的可行流，但它不是最小流。原因是在还没有充分利用网络中的边时，就使用了（汇点，源点）这条边，于是就导致答案偏大。（这里有个很形象的图）

　　解决方法是先跑一遍maxflow，使之充分利用网络中的边，然后再加上（汇点，源点）这条边，再跑一遍maxflow，就求出了最小流。

　　这道题因为无上界，必然有可行流，所以就免了上一道题sigma(度数)==flow的判断。

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl
#define FOR(i,l,r) for (int i=(l);i<=(r);i++)
#define FORD(i,r,l) for (int i=(r);i>=(l);i--)
using namespace std;
const int maxn=205+1,maxm=120000,jx=0x7fffffff;

int pos,ta[maxn],lin[maxm],sd[maxm],sl[maxm];
void biu(int s,int t,int c)
{
    ++pos; lin[pos]=ta[s]; ta[s]=pos; sd[pos]=t; sl[pos]=c;
    ++pos; lin[pos]=ta[t]; ta[t]=pos; sd[pos]=s; sl[pos]=0;
}

int nn;
int h[maxn];
int vh[maxn];
int aug(int v,int deta)
{
    if (v==nn) return deta;
    int mins=nn-1,augc,bak=deta;
    for (int i=ta[v];i;i=lin[i])
        if (sl[i])
        {
            if (h[v]==h[sd[i]]+1)
            {
                augc=min(deta,sl[i]);
                augc=aug(sd[i],augc);
                deta-=augc;
                sl[i]-=augc; sl[(i+1^1)-1]+=augc;
                if (!deta) break;
                if (h[nn-1]>=nn) return bak-deta;
            }
            mins=min(mins,h[sd[i]]);
        }
    if (bak==deta)
    {
        vh[h[v]]--; if (vh[h[v]]==0) h[nn-1]=nn;
        h[v]=mins+1; vh[h[v]]++;
    }
    return bak-deta;
}

int n,m;
int A[101],B[101],S[101];
int clean[101][101];
int rd[101*2],cd[101*2];
void init(int nn)
{
    pos=0;
    for (int i=0;i<=nn;i++) ta[i]=h[i]=vh[i]=0;
    for (int i=1;i<=n*2;i++) rd[i+n]=cd[i]=0;
}
void make_graph()
{
    init(n*2+4);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (B[i]+clean[i][j]<A[j])//?
                biu(i+n,j,jx);
    nn=n*2+2;
    for (int i=1;i<=n;i++) biu(nn-1,i,jx),biu(i+n,nn,jx);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        rd[i+n]+=(S[i]-1)/m+1;
        cd[i]+=(S[i]-1)/m+1;
        biu(i,i+n,jx);
    }

    nn+=2;
    for (int i=1;i<=n;i++) biu(i,nn,cd[i]),biu(nn-1,i+n,rd[i+n]);
}
int solve()
{

    int sum=0,flow=0;
    make_graph();
    while (h[nn-1]<nn) flow+=aug(nn-1,jx);
    for (int i=1;i<=n;i++) sum+=cd[i];
    if (sum!=flow)
    {
        memset(h,0,sizeof(h));
        memset(vh,0,sizeof(vh));
        biu(nn-2,nn-3,jx);
        while (h[nn-1]<nn) aug(nn-1,jx);
    }
    int ans=0;
    nn-=2;
    for (int i=ta[nn-1];i;i=lin[i])
        if (sd[i]==nn)
        {
            ans=sl[i];
            break;
        }
    return ans;
}
int main(){
    for (int T;scanf("%d",&T)!=EOF;)
        for (int tt=1;T--;tt++)
        {
            scanf("%d%d",&n,&m);
            for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",A+i,B+i,S+i);
            for (int i=1;i<=n;i++)
                for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&clean[i][j]);
            printf("Case %d: %d
",tt,solve());
        }
    return 0;
}

　　

 　　

　　zoj 3229 （有源汇的上下界网络流最大流）：

　　这种题与上面两种题型的不同在于在判断是否存在可行流之后，我们要删除超级汇点和超级源点，还要把（汇点，源点）这条边删去，再从源点到汇点进行一次maxflow。

　　这题建图很好想。比较坑的是输出的地方描述不好懂。

#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl
#define FOR(i,l,r) for (int i=(l);i<=(r);i++)
#define FORD(i,r,l) for (int i=(r);i>=(l);i--)
using namespace std;
const int maxn=1400,maxm=160000,jx=0x7fffffff;

int pos,ta[maxn],lin[maxm],sd[maxm],sl[maxm];
void biu(int s,int t,int c)
{
    ++pos; lin[pos]=ta[s]; ta[s]=pos; sd[pos]=t; sl[pos]=c;
    ++pos; lin[pos]=ta[t]; ta[t]=pos; sd[pos]=s; sl[pos]=0;
}

int nn;
int h[maxn];
int vh[maxn];
int aug(int v,int deta)
{
    if (v==nn) return deta;
    int mins=nn-1,augc,bak=deta;
    for (int i=ta[v];i;i=lin[i])
        if (sl[i])
        {
            if (h[v]==h[sd[i]]+1)
            {
                augc=min(deta,sl[i]);
                augc=aug(sd[i],augc);
                deta-=augc;
                sl[i]-=augc; sl[(i+1^1)-1]+=augc;
                if (!deta) break;
                if (h[nn-1]>=nn) return bak-deta;
            }
            mins=min(mins,h[sd[i]]);
        }
    if (bak==deta)
    {
        vh[h[v]]--; if (vh[h[v]]==0) h[nn-1]=nn;
        h[v]=mins+1; vh[h[v]]++;
    }
    return bak-deta;
}

int n,m;
int G[maxn];
int rd[maxn],cd[maxn];
int sum;
int gra[maxn][maxn]; bool id[maxn][maxn];
void init()
{
    //init
    pos=0;
    for (int i=1;i<=n+m+4;i++) ta[i]=h[i]=vh[i]=rd[i]=cd[i]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++) gra[i][j]=id[i][j]=0;

    //make graph
    nn=n+m+2;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",G+i);
        rd[nn]+=G[i]; cd[n+i]+=G[i];
        biu(i+n,nn,jx);
    }
    int c,d,t,l,r;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&c,&d);
        biu(nn-1,i,d);
        for (int j=1;j<=c;j++)
        {
            scanf("%d%d%d",&t,&l,&r); t++;
            cd[i]+=l; rd[t+n]+=l;
            biu(i,t+n,r-l);
            gra[i][t]+=l; id[i][t]=1;
        }
    }

    nn+=2; sum=0;
    for (int i=1;i<=n+m+2;i++)
        if (cd[i]>rd[i]) biu(i,nn,cd[i]-rd[i]),sum+=cd[i]-rd[i];
        else if (rd[i]>cd[i]) biu(nn-1,i,rd[i]-cd[i]);

    biu(nn-2,nn-3,jx);//make cycle
}

void solve()
{
    nn-=2;
    int flow=sl[ta[nn-1]];
    ta[nn]=lin[ta[nn]]; ta[nn-1]=lin[ta[nn-1]];
    for (int i=1;i<=nn;i++) h[i]=vh[i]=0;
    while (h[nn-1]<nn) flow+=aug(nn-1,jx);
    printf("%d
",flow);
    for (int v=n+1;v<=n+m;v++)
        for (int i=ta[v];i;i=lin[i])
            if (sd[i]>=1&&sd[i]<=n)
                gra[sd[i]][v-n]+=sl[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if (id[i][j])
                printf("%d
",gra[i][j]);
}
int main(){
    for (;scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF;)
    {
        init();
        int flow=0;
        while (h[nn-1]<nn) flow+=aug(nn-1,jx);
        if (flow!=sum) puts("-1");
        else solve();
        puts("");
    }
    return 0;
}

　　——至此，上下界网络流题型算是补完了。

 

---

二、01分数规划：

　　poj 3155 Hard Life（最大密度子图）：

　　这是道坑题...把二分的精度从1e-8调到1e-6就能AC了...个中原因还需研究一下...

//13395616    ooyyloo    3155    Accepted    840K    282MS    G++    2963B    2014-08-30 12:33:29
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=11002+1,maxm=120000;
const double inf=1000000.0;
const double eps=1e-18;

int pos,ta[maxn],lin[maxm],sd[maxm]; double sl[maxm];
void biu(int s,int t,double c)
{
    ++pos; lin[pos]=ta[s]; ta[s]=pos; sd[pos]=t; sl[pos]=c;
    ++pos; lin[pos]=ta[t]; ta[t]=pos; sd[pos]=s; sl[pos]=0;
}

int nn;
int h[maxn],vh[maxn];
double aug(int v,double deta)
{
    if (v==nn) return deta;
    int mins=nn-1; double augc,bak=deta;
    for (int i=ta[v];i;i=lin[i])
        if (sl[i]>0.0)
        {
            if (h[v]==h[sd[i]]+1)
            {
                augc=min(deta,sl[i]);
                augc=aug(sd[i],augc);
                deta-=augc;
                sl[i]-=augc; sl[(i+1^1)-1]+=augc;
                if (deta<=0) break;
                if (h[nn-1]>=nn) return bak-deta;
            }
            mins=min(mins,h[sd[i]]);
        }
    if (bak==deta)
    {
        vh[h[v]]--; if (vh[h[v]]==0) h[nn-1]=nn;
        h[v]=mins+1; vh[h[v]]++;
    }
    return bak-deta;
}

int n,m;
int edge[1001][2];
bool vis[maxn];
void init()
{
    pos=0;
    for (int i=1;i<=nn;i++) ta[i]=h[i]=vh[i]=0;
}
void make_graph(double x)
{
    nn=n+m+2;
    init();
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        biu(nn-1,i,1.0);
        biu(i,edge[i][0]+m,inf);
        biu(i,edge[i][1]+m,inf);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) biu(i+m,nn,x);
}
int ans;
void dfs(int v)
{
    vis[v]=1;
    if (v>m&&v<=m+n) ans++;
    for (int i=ta[v];i;i=lin[i])
        if (sl[i]>0)
            if (!vis[sd[i]]) dfs(sd[i]);
}
void solve()
{
    /*double flow=0; make_graph(1.25);
    while (h[nn-1]<nn) flow+=aug(nn-1,inf);
    cout<<flow<<endl;*/
    double l=0,r=m,mid,gap=1.0/n/n/10;
    double flow;
    while (r-l>=1e-6)
    {
        mid=(l+r)/2;
        flow=m; make_graph(mid);
        while (h[nn-1]<nn) flow-=aug(nn-1,inf);
        if (flow==0.0) r=mid; else l=mid;
    }
    make_graph(l);
    while (h[nn-1]<nn) aug(nn-1,inf);
    ans=0;
    for (int i=1;i<=nn;i++) vis[i]=0;
    dfs(nn-1);
    /*for (int i=ta[nn];i;i=lin[i])
        if (sl[i]==l)//?
            if (!vis[sd[i]-m])
                vis[sd[i]-m]=1,ans++;*/
    printf("%d
",ans);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (vis[i+m])
            printf("%d
",i);
}
int main(){
    for (;scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF;)
    {
        for (int i=1;i<=m;i++)
            scanf("%d%d",&edge[i][0],&edge[i][1]);
        if (!m) printf("1
1
");
        else     solve();
    }
    return 0;
}