数论入门基础整理

*有误欢迎大佬斧正*

基本定理：

威尔逊定理:一个数p为素数的充要条件是p|(p-1)!+1

费马小定理:对于素数p，以及整数a，如有(a,p)=1,则a^(p-1)=1(mod p)

欧拉定理:对于任意两个互素整数a,m ，a^φ(m) =1 (mod m), φ为欧拉函数，表示小于p且与p互素的数个数

欧拉函数求解：

int euler(int x)
{
    int res = x, n = x;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
        if (n % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n > 1)
        res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

void getEuler()
{
    for (int i = 1; i < maxn; i++)
        e[i] = i;
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
        if (e[i] == i)
            for (int j = i; j < maxn; j += i)
                e[j] = e[j] / i * (i - 1);
}

扩展欧拉定理:将欧拉定理延申到了 (a,m) !=1 的情况，可用于大指数运算

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孙子定理(中国剩余定理):

对于形如的方程组，m互素

令M=m₁*m₂..m_n, M_i = M/m_i, t_i=M_i在模m_i意义下的乘法逆元(关于乘法逆元可以参考费马小定理或扩展欧几里得算法)，解为

x=a₁*t₁*M₁+a₂*t₂*M₂+...a_n*t_n*M_n+kM，k为整数，原方程最小解为x mod M

/*
    普通孙子定理/中国剩余定理，求解模数互素的同余方程组
    m除数，r余数
 */
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) //求逆元
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return ret;
}

ll crt()
{
    ll d, x, y, ret = 0;
    ll temp;
    ll M = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        M *= m[i]; //m是除数
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        temp = M / m[i];
        d = exgcd(m[i], temp, x, y);       //求temp在模mi意义下的逆元
        ret = (ret + y * temp * r[i]) % M; //b是余数
    }
    return (ret + M) % M;
}

对于m不互素的情况，需要用扩展欧几里得进行两两合并求解（）

/*
    扩展中国剩余定理
    可求解m不互质的同余方程组
    m除数，r余数
 */

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return ret;
}
ll excrt()
{
    ll M = m[0], R = r[0], x, y, d;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        d = exgcd(M, m[i], x, y);
        if ((R - r[i]) % d)
            return -1;
        x = (R - r[i]) / d * x % m[i];
        R -= M * x;
        M = M / d * m[i];
        R %= M;
    }
    return (R % M + M) % M;
}

---

素数与合数：

唯一分解定理

一个自然数x可以唯一分解为x = p₁^r₁p₂^r₂...p_n^r_n  (p为素数，r为正整数）

x的所有因子个数：(1 + r₁) * ( 1 + r₂ )...( 1 + r_n )

x的所有因子之和：( 1 + p₁ + p₁2 + p₁3...p₁r1)( 1 + p₂ + p₂2  +...+p₂^r₂)...( 1 + p_n + p_n² + ...+ p_n^r_n)

x的所有素因子之和: phi(n)*n/2, （phi为欧拉函数，表示小于n且与n互素的数个数）

反素数

定义g(x)为x的因子个数，若对于所有的0 < i< x，都有g(i)<g(x)则称x为反素数

反素数性质1:一个反素数的素因子必然是从2开始的连续素数

反素数性质2:若n为反素数，则n= p₁^r₁p₂^r₂...p_n^r_n ,其中r1>=r2>=..rn

N!的素因子分解:

即幂可由后边和式计算得到

int f(ll n, ll p)
{
    if (n == 0)
        return 0;
    return f(n / p, p) + n / p;
}

 素数筛

埃氏筛素数（no code）

 

for (int i = 2; i <= maxn; i++)
{
    if (!vis[i])
        prime[pcnt++] = i;
    for (int j = 0; j < pcnt && i * prime[j] <= maxn; j++)
    {
        vis[i * prime[j]] = 1;
        if (i % prime[j] == 0)
            break;
    }
}

/*
    区间素数筛，maxn是区间长度，[a,b]
 */
const int maxn = 1e5 + 10; //区间最大长度
bool isprime1[maxn], isprime2[maxn];
int solve(ll a, ll b)
{
    for (ll i = 0; i * i <= b; i++)
        isprime1[i] = 0;
    for (ll i = 0; i <= b - a; i++)
        isprime2[i] = 1;
    for (ll i = 2; i * i <= b; i++)
    {
        if (!isprime1[i])
        {
            for (ll j = i + i; j * j <= b; j += i)
                isprime1[j] = 1;
            for (ll j = max(2LL, (a + i - 1) / i) * i; j <= b; j += i)
                isprime2[j - a] = 0;
        }
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i <= b - a; i++)
        if (isprime2[i])
            sum++;
    if (a == 1)
        --sum;
    return sum;
}

MIller-Robin素数测试法

费马小定理：对于素数p和任意整数a，若(a,p)=1,有a^p-1 ≡ 1 (mod p)。相反的，满足a^p-1 ≡ 1 (mod p)，p也几乎一定是素数。

伪素数：如果n是一个正整数，如果存在和n互素的正整数a满足 a^n-1 ≡ 1(mod n)，我们说n是基于a的伪素数。如果一个数是伪素数，那么它几乎肯定是素数。

Miller-Rabin测试：不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有b^n-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。　

ll powerMod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ret = 1LL;
    a %= mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1LL)
            ret = multiMod(ret, a, mod), --b;
        b >>= 1LL;
        a = multiMod(a, a, mod);
    }
    return ret;
}

//Miller-Rabin测试,测试n是否为素数
bool Miller_Rabin(ll n, int repeat)
{
    if (2LL == n || 3LL == n)
        return true;
    if (!(n & 1LL))
        return false;

    //将n分解为2^s*d
    ll d = n - 1LL;
    int s = 0;
    while (!(d & 1LL))
        ++s, d >>= 1LL;

    srand((unsigned)time(0));
    for (int i = 0; i < repeat; ++i)
    {                                //重复repeat次
        ll a = rand() % (n - 3) + 2; //取一个随机数,[2,n-1)
        ll x = powerMod(a, d, n);
        ll y = 0LL;
        for (int j = 0; j < s; ++j)
        {
            y = multiMod(x, x, n);
            if (1LL == y && 1LL != x && n - 1LL != x)
                return false;
            x = y;
        }
        if (1LL != y)
            return false;
    }
    return true;
}

Pollard-rho大数分解

--摘自大佬博客https://blog.csdn.net/Sunshine_cfbsl/article/details/52512706

对于一个大整数n，我们取任意一个数x使得x是n的质因数的几率很小，但如果取两个数x1以及x2使得它们的差是n的因数的几率就提高了，如果取x1以及x2使得gcd(abs(x1−x2),n)>1的概率就更高了。这就是Pollard-Rho算法的主要思想。

对于满足gcd(abs(x1−x2),n)>1的x1和x2，gcd(abs(x1−x2),n)就是n的一个因数，只需要判断它是否为素数，若为素数，则是n的质因数，否则递归此过程。

其中判断素数就使用MillerMiller-RabinRabin算法。

那么我们怎样不断取得x1x1和x2x2呢？
x1在区间[1,n]中随机出来，而x2则由x[i]=(x[i-1]*x[i-1]%n+c)%n推算出来，其中c为任意给定值，事实证明，这样就是比较优的。

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莫比乌斯反演

专门开了一篇随笔记录，传送门

原根

（埋坑）

勾股数组

本源勾股数组

指勾股数中两两互质的勾股数,其他勾股数均可由其翻倍得出。

求法

对于一个大于1的奇数p，由其构成的本源勾股数组为$p,leftlfloorfrac{p^2}{2} ight floor,leftlceilfrac{p^2}{2} ight ceil$

一般勾股数组的求法，寻找一个奇因子，由奇因子生成本源勾股数组，乘上倍数。特别的，2的幂次需要特判