本文章从以上两位大佬的博客参考而来!再次感谢!
母函数，又称生成函数，是ACM竞赛中经常使用的一种解题算法，常用来解决组合方面的题目。
在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供
关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以
上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的
特性和问题的类型。
这里先给出两句话
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的
运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
母函数图(2)
母函数的定义
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
母函数图(3)
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
接着上面，接下来是第二种情况：
第二种：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
母函数图(4)
以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
母函数通常解决类似如下的问题：
给5张1元，4张2元，3张5元，要得到15元，有多少种组合？
某些时候会规定至少使用3张1元、1张2元、0张5元。
某些时候会规定有无数张1元、2元、5元。
……
解题过程
解题时，首先要写出表达式，通常是多项的乘积，每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表达式为
(x^(v[0]*n1[0])+x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))
K对应具体问题中物品的种类数。
v[i]表示该乘积表达式第i个因子的权重，对应于具体问题的每个物品的价值或者权重。
n1[i]表示该乘积表达式第i个因子的起始系数，对应于具体问题中的每个物品的最少个数，即最少要取多少个。
n2[i]表示该乘积表达式第i个因子的终止系数，对应于具体问题中的每个物品的最多个数，即最多要取多少个。
对于表达式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。
解题的关键是要确定v、n1、n2数组的值。
通常n1都为0，但有时候不是这样。
n2有时候是无限大。
通用模板:
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<algorithm> 4 #include<stack> 5 #include<queue> 6 #include<iostream> 7 #include<map> 8 #include<vector> 9 #define Inf 0x3f3f3f3f 10 #define PI acos(-1.0) 11 using namespace std; 12 const int MXAN=300+10; 13 int dp[1234]; 14 int str[1234]; 15 int main() 16 { 17 int m,n,i,j,pos; 18 int a[MXAN]; 19 int b[MXAN]; 20 while(cin>>n&&n) 21 { 22 for(int i=0;i<=300;i++) 23 { 24 a[i]=1; 25 b[i]=0; 26 } 27 for(int i=2;i<=17;i++) 28 { 29 for(int j=0;j<=n;j++) 30 { 31 for(int k=0;k+j<=n;k+=i*i) 32 { 33 b[k+j]+=a[j]; 34 } 35 } 36 for(int j=0;j<=n;j++) 37 { 38 a[j]=b[j]; 39 b[j]=0; 40 } 41 } 42 cout<<a[n]<<endl; 43 } 44 return 0; 45 }
我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)
① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面几个表达式累乘的表达式)里第j个变量，如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。