最长公共子序列（LCS）

观看了麻省理工大学的算法导论课程，讲解了动态规划求解最长公共子序列的方法，受益匪浅，现做个总结。

课程链接如下：http://v.youku.com/v_show/id_XOTMyMDc1MjIw.html?spm=a2h0k.8191407.0.0&from=s1.8-1-1.2

 

1、公共子序列和公共子串的区别

2、问题描述

3、穷举法

4、动态规划求解

1、公共子序列和公共子串的区别

公共子串是指连续的公有字符串，公共子序列是指两个字符串都任意删除0个或多个字符后得到的公有字符串，子序列可以是不连续的。

举个例子吧，有两个字符串，串A为“1 2 3 4 5 6 7”，串B 为“1 3 4 5 8 7”，很明显，A和B的公共子串为“3 4 5”，A和B的公共子序列可以是 “3 5”，或是“1 3 7”，等等。

 

最长公共子串：在两个字符串中找到一个最长的公共子串，要求子串在原串中是连续的。

最长公共子序列：在两个字符串中找到一个最长的公共子串，不要求子串在原串中是连续的。

2、问题描述

现有两个序列x[1...m],y[1...n]，要求出两个序列的最长公共子序列。

假设x和y如下：

x[1...m] = {A, B, C, B, D, A, B};

y[1...n] = {B, D, C, A, B, A}；

3、穷举法

• 求出x中所有包含的子序列数：2^m
• 检测y中是否包含每一个子序列：n

时间复杂度为：O(2^m * n)，消耗天价的时间，明显不合格。

4、动态规划求解

先假设有 C[i,j] = | LCS(x[1...i] , y(1...j)) |，则有：

 根据上面要求可以写出求解LCS问题的伪代码：

 

 LCS(x,y,i,j)  
     if x[i] = y[j]  
         then C[i,j] ← LCS(x,y,i-1,j-1)+1  
     else C[i,j] ← max{LCS(x,y,i-1,j),LCS(x,y,i,j-1)}  
   return C[i,j]

　　为了在求解过程中不进行重复计算，用一个二维数组来暂时存储已经计算过的值，牺牲空间来获得时间上的优化。

 代码如下：

public class LCS {
    public static int[][] vals ;

    public static int getLCS(String str1,String str2){
        int len1 = str1.length();
        int len2 = str2.length();

        vals = new int[len1+1][len2+1];

        for(int i=0;i<len1;i++){
            // 二维数组从[1][1]开始进行有效存储
            int fi = i+1;
            for(int j=0;j<len2;j++){
                int fj = j+1;
                //字符相同
                if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)){
                    // 满足第一种状况
                    vals[fi][fj] = vals[fi-1][fj-1] + 1;
                    //字符不相同
                }else if(str1.charAt(i) != str2.charAt(j)){
                    //满足第二种状况
                    vals[fi][fj] = Math.max(vals[fi-1][fj],vals[fi][fj-1]);
                }
            }
        }

        for(int i=0;i<len1;i++){
            System.out.println(Arrays.toString(vals[i]));
        }

        return vals[len1][len2];
    }
    public static void main(String[] args) {
        String str1 = "ABCBDAB";
        String str2 = "BDCABA";
        System.out.println(getLCS(str1,str2));
    }
}

 输出结果：

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
[0, 1, 1, 1, 1, 2, 2]
[0, 1, 1, 2, 2, 2, 2]
[0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
[0, 1, 2, 2, 2, 3, 3]
[0, 1, 2, 2, 3, 3, 4]
4