顶函数（(lceil {x} ceil)）、底函数（(lfloor {x} floor)）：
常称之为高斯（取整）函数。
定义：
顶函数：(geq {x})的最小整数。
底函数：(leq {x})的最大整数。
举个例子：
(1.lceil {1.5} ceil=2)
(2.lfloor {1.5} floor=1)
(3.lceil {-1.5} ceil=-1)
(4.lfloor {-1.5} floor =-2)
带余除法：
定义:
(对于任意整数a,b（ageq b,b
eq 0）,)(存在q,r,满足a=qb+r（0leq r leq |b|）,且q，r唯一)
我们把a叫做被除数，b叫做除数，q叫做商，r叫做余数。
可以证明(q=lfloor left (frac {a}{b}
ight )
floor,r=a-blfloor left(frac {a}{b}
ight)
floor)（证明如下）
(ecause这个是很显然的)
( herefore q=lfloor left (frac {a}{b} ight ) floor,r=a-blfloor left(frac {a}{b} ight) floor)
整除：
定义：如果(a)能把(b)除尽，余数为0，那么就说是(b)被(a)整除，即(a|b)。
整除的性质：
- 自反性：对于任意(n)，有(n|n)。
- 传递性：若(a|b,b|c)，那么(a|c)。
- 反对称性：若(a|b,b|a)，即(a=b)。（对称性：若(a)满足(bcdots)关系，那么(b)也满足(acdots)关系）
- 若(b|a,c|b)，则(c|a)。（证明如下）
(ecause b|a,c|b)
( herefore（所以必然存在两个整数x，y）使得a=xb)，(b=yc)
(又 herefore a=xyc)
(ecause a/c=xy)
( herefore c|a)
- 若(c|a,c|b)，则对任意数(x,y)，必有(c |（ax+by）。)（证明如下）
(ecause c|a,c|b)
( herefore （所以必然存在两个整数p，q）使得a=pc)，(b=qc)
(又 herefore c |（pcx+qcy）)
(c|c（px+qy）)
(ecause 两边都有c)
( herefore c（px+qy）是c的倍数)
(又 herefore c|(ax+by))
- 若(b|a,a eq 0)，则有(|b| leq |a|)。（证明如下）
(ecause b|a)
( herefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb)
(又 herefore a是b的倍数，|b| leq |a|)。
- 若(b|a,a eq 0)，则(left( frac ab ight)|a)。（证明如下）
(ecause b|a)
( herefore （所以必然存在一个整数q）使得a=qb)
(又 herefore left( frac {a}{b} ight)=left( frac {qb}{b} ight)=q)
(ecause a是q的倍数)
( herefore q|a)
(又 herefore left(frac{a}{b} ight)|a)
- 若(b|a,c|a,bot c)，则(bc|a)。（举例如下）
(1.当a=12,b=1,c=6时，1|12,6|12,1ot12,6|12。)
(2.当a=72,b=8,c=9时，8|72,9|72,8ot9,72|72。（自反性：72|72）)
- 若(a|b,b|a)，则(|a|=|b|)。（反对称性）
- 若(a|b)，对任意整数(c)，则(a|bc)。（证明如下）
(ecause a|b)
( herefore b=xa，b是a的倍数)
(又 herefore乘上任意整数c，bc依旧是a的倍数)
(又 herefore a|bc)
- 若(a|b)，对于任意整数(m（m eq0）)，则(ma|mb)。（证明如下）
(ecause 这是显然的)
( herefore ma|mb)
唯一分解定理（算术基本定理）：
(n=p_1^{r_1}*p_2^{r_2}*cdots)
其中(p_i)是质数，(p_1=2,p_2=3 cdots)以此类推
结论：
设(p)为质数，对于任意整数(a)，则有(p|a)或者((p,a)=1)。（证明如下）
(ecause p为质数)
$ herefore a要么是p的倍数，要么pperp a。 ( )又 herefore p|a或者(p,a)=1$
约数和倍数：
推论：
在算术基本定理中，若(N)被唯一分解为(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}cdots p_m^{c_m}),其中(c_i)是正整数，(p_i)是质数且满足(p_1<p_2<cdots p_m),则(N)的正整数集合可写作(：)
define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
//clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=sqrt(n); ++i) {
if(n%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(n/i!=i) a[++cnt]=n/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
//clock_t ends = clock();
//cout<<"
Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
如果更改题意，给出$l,r$，要求求$l-r$之间的每个数的正约数集合。那么再用试除法，时间复杂度就为$O(Nsqrt{N})$，变得有点恶心，特别是在$N$非常大的时候。譬如跑$1-100000$。
消耗的时间如下：
运行代码如下：
```cpp
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 10086
int a[N];
int n;
int cnt=0;
int l,r;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>l>>r;
clock_t start = clock();
for(int j=l; j<=r; ++j) {
memset(a,0,sizeof(a));
cnt=0;
// cin>>n;
for(int i=1; i<=sqrt(j); ++i) {
if(j%i==0) {
a[++cnt]=i;
if(j/i!=i) a[++cnt]=j/i;
}
}
for(int i=1; i<=cnt; ++i) cout<<a[i]<<" ";
cout<<"
";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"
Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
这个时候就要用到另一种方法。即：
2.倍数法：
对于任意数(x)，(1-N)中以(x)为约数的数就是(x,2x,3xcdots lfloor N/x
floor*x)。时间复杂度为(O(N lg N))
消耗时间如下：
代码如下：
#include"bits/stdc++.h"
#include<time.h>
using namespace std;
#define N 100860
vector<int> a[N];
int n;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
clock_t start = clock();
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n/i; ++j)
a[i*j].push_back(i);
for(int i=1; i<=n; ++i) {
for(int j=0; j<a[i].size(); ++j) {
cout<<a[i][j]<<" ";
}
cout<<"
";
}
clock_t ends = clock();
cout<<"
Running time: "<<(double)(ends - start)/ CLOCKS_PER_SEC;
return 0;
}
GCD和LCM：
定义：
1.设(a)和(b)是两个整数，如果(d|a)且(d|b)，则称(d)是(a)与(b)的公因子。
2.设(a)和(b)是两个不全为(0)的整数，能使(d|a)和(d|b)成立的最大整数(d)，称它为(a)与(b)的最大公因子，或最大公约数，即(gcd(a,b))。
3.设(a)和(b)是两个不全为(0)的整数，能使(a|d)和(b|d)成立的最小整数(d)，称它为(a)与(b)的最小公因子，即(lcm(a,b))。
例题：
如果我们把(A)分解成了(2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}cdots)，把(B)分解成了(2^{b_1}3^{b_2}5^{b_3}cdots)如何快速求(gcd(A,B))。（解如下）
(ecause 假设d=gcd(A,B))
( herefore d|A,d|B,d最大)
(d=2^{p_1}3^{p_2}5^{p_3}cdots)
( herefore p_1 leq a_1,p_1 leq b_1)
(p_2 leq a_2,p_2 leq b_2)
(cdots)
(p_1=min(a_1,b_1),p_2=min(a_2,b_2),cdots)
(又 herefore d=2^{min(a_1,b_1)}3^{min(a_2,b_2)}cdots)
2.如何快速求(lcm(A,B))。（解如下）
(把min换成max即可)
(ecause 设c=lcm(A,B))
( herefore c=2^{max(a_1,b_1)}3^{max(a_2,b_2)}cdots)
(gcd(A,B)*lcm(A,B)=A*B=c*d)
欧几里得算法：
即辗转相除法。时间复杂度为(O(lg n))。
求(gcd)（给出(a,b)）：
(引理：若a>b,则gcd(a,b)=gcd(a-b,b))
(证：1.显然a-b,b的公因数也是a,b的公因数。)
(2.a,b的公因数也肯定是a-b,b的公因数。)
(3.a,b的公因数集合与a,b的一模一样，最大的当然也一样。（更相减损术）)
(所以解得gcd(a,b)=gcd(a, amod b)=gcd(amod b,b)) (↰)
(↑)
再证明一下上面的式子？(↑)
(设c(a,b)表示a,b的所有公因数的集合，则gcd(a,b)是r(a,b)中最大的。)
(先尝试证明：a>b时,gcd(a,b)=gcd(a,a-b)(过程在上面))
(要证这个，只需证r(a,b)=r(a,a-b))
(假设d是a,b的公因数)
((那么必然存在两个整数p,q)使得a=pd,b=qd→d(p-q)=a-b)
(a,b的公因数肯定是a,a-b的公因数,反之成立)
(gcd(a,b)=gcd(a,amod b)(一直减一个数，余下的便是amod b的余数))
(举例:)
(a=20,b=3)
(即gcd(20,3)→(17,3)→(14,3)→(11,3)→(8,3)→(5,3)→(2,3))
Code：
inline int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
//return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
一条性质：
记(f[n])为斐波那契数列的第(n)项，则有(gcd(f[a],f[b])=f(gcd[a,b]))。
计算(lcm)：
(lcm=a/gcd(a,b)*b)
错误做法：
(lcm=a*b/gcd(a,b))（会爆int）
互质：
若(gcd(a,b)=1)，那么(aperp b)。
基本定理：
1.对于任意两个质数(n,m)，(nperp m)。
2.对于任意两个相邻的整数(n,m)，(nperp m)。
3.若(a=1)，对于任意一个自然数(m)，(aperp m)。
4.一个质数(m)，一个合数(n)，若(n)不是(m)的倍数，(nperp m)。
同余：
定义：
若两个整数(a,b)，且它们的差(a-b)能够被某个自然数(m)所整除，则称(a)与(b)对模(m)同余。记作(aequiv b(mod m)),若(m)的值可以由上下文推出时，简写为(aequiv b)。
性质：
1.自反性：(aequiv a)。
2.对称性：若(aequiv b)，则%bequiv a%。
3.传递性：若(aequiv b,bequiv c)，则(aequiv c)。
4.同加性：若(aequiv b)，则(a+cequiv b+c)。
5.同乘性：（1）若(aequiv b)，则(a*cequiv b*c)。
（2）若(aequiv b,cequiv d),则(a*cequiv b*d)。
6.同幂性：若(aequiv b),则(a^nequiv b^n)。
7.同余式相加：若(aequiv b,cequiv d)，则(apm cequiv bpm d)。
8.同余式相乘：若(aequiv b,cequiv d)，则(acequiv bd)。
以上性质都是很显然的。
容斥原理：
基本思想：
在计算的时候，总是会有遗漏或者是重复计算的部分，为了使重复计算的部分不被重复计算，可以先算出所有可能，然后再把重复计算的部分减去。
举例：
假设某虎有(A)个妹子，cgp有(B)个妹子，他们想要知道他们一共有多少个不同的妹子（每个人都有很多，总会有相同妹子）。
先用两个圆圈表示出每个人所拥有的妹子。
then。
那么红色的部分代表的是两个人都有的妹子。
如何计算他们俩一共有多少种不同的妹子？
就需要先把他俩所拥有的妹子加起来，然后再减去红色的部分都有的妹子，就是所求。
则(Acup B=A+B-Acap B)。
那么再假设某虎依旧有(A)个妹子，cgp依旧也有(B)个妹子，突然sjp来了，sjp也有妹子，sjp突然也对这产生兴趣，于是某虎有(A)个妹子，cgp有(B)个妹子，sjp有(C)个妹子，他们想要知道他们一共有多少种不同的妹子（每个人都有很多，总会有相同妹子）。
那么我们先用三个圆圈表示出每个人所拥有的妹子。
then。
那么蓝色的部分代表的是三个人都有的妹子，绿色的部分代表的是某虎和cgp都有的妹子，橙色的部分代表的是cgp和sjp都有的妹子，紫色部分代表的是某虎和sjp都有的妹子。
那么如何计算他们仨一共有多少种不同的妹子？
就需要先把他们仨所拥有的妹子都加起来，然后再减去绿色的，紫色的，橙色的部分相同的妹子，最后再加上蓝色的部分的妹子，就是所求。
则(Acup Bcup C=A+B+C-Acap B-Acap C-Bcap C+Acap Bcap C)。