最大子矩阵问题———悬线法

悬线法可以用来求一类带有障碍点的最大子矩阵问题，对于一个(N imes M)的矩阵，该算法时间复杂度(O(NM))。

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基本概念

• 有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何一个障碍点的竖直线段
• 悬线：上端覆盖了一个障碍点的或者到达整个矩形上边界的有效竖线
• 悬线对应矩形：如果把一个悬线向左右两个方向尽可能的移动，会得到一个矩形，我们称它为悬线对应矩形
• 每个悬线与它底部的点一一对应
• 悬线对应矩形不一定是极大子矩形，但极大子矩形一定是悬线对应矩形

实现方法

根据“基本概念”的最后一条，我们只要求出所有的悬线对应矩形，就能找出所有的极大子矩形，从而找出最大子矩形。因为悬线最多有((N-1) imes M)条，只要我们能(O(1))转移悬线，就能得到一个总时间复杂度为(O(NM))的优秀算法

接下来我们考虑如何转移

数组名	作用
h[i][j]	点((i,j))对应的悬线的长度
l[i][j]	点((i,j))左边的第一个障碍（若没有，则为边界）
r[i][j]	点((i,j))右边的第一个障碍（若没有，则为边界）
L[i][j]	点((i,j))对应的悬线能移动到的最左边的位置
R[i][j]	点((i,j))对应的悬线能移动到的最右边的位置

首先，我们预处理一下l,r,L,R四个数组（不同的题目处理的方式可能有略微的差别）

int pos;
for(int i=1;i<=n;i++){
	  pos=0;
    for(int j=1;j<=m;j++)
      if(mapp[i][j]) l[i][j]=pos;
      else L[i][j]=0,pos=j;

    pos=m+1;
    for(int j=m;j>=1;j--){
        if(mapp[i][j]) r[i][j]=pos;
        else R[i][j]=m+1,pos=j;
    }
}

上面只是求出了不合法的L[i][j],R[i][j]，接下来我们要求出所有的L[i][j],R[i][j]

for(int i=1;i<=m+1;i++) R[0][i]=m+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=m;j++){
      if(mapp[i][j]){
      	  h[i][j]=h[i-1][j]+1;
          L[i][j]=max(l[i][j]+1,L[i-1][j]);
          R[i][j]=min(r[i][j]-1,R[i-1][j]);
      }
  }

之后我们遍历一下每个点，对于点((i,j))，它对应的矩形右下角为(i,R[i][j])，左上角为(i-h[i][j]+1,L[i][j])

例题

1. BZOJ3039 玉蟾宫

   这好像是一道权限题，不过Luogu上也有

   悬线法裸题，上面讲的代码就出自此题

2. ZJOI2007 棋盘制作
   悬线法裸题+1，只不过将判断(0/1)换成了异或

int pos;
for(int i=1;i<=n;i++){
	l[i][1]=1;
  for(int j=2;j<=m;j++)
    if(mapp[i][j]^mapp[i][j-1])
      l[i][j]=l[i][j-1];
    else l[i][j]=j;
  r[i][m]=m;
  for(int j=m-1;j>=1;j--)
    if(mapp[i][j]^mapp[i][j+1])
      r[i][j]=r[i][j+1];
    else r[i][j]=j;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
  h[1][i]=1,L[1][i]=l[1][i],R[1][i]=r[1][i];
for(int i=2;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=m;j++)
    if(mapp[i][j]^mapp[i-1][j]){
      h[i][j]=h[i-1][j]+1;
      L[i][j]=max(l[i][j],L[i-1][j]);
      R[i][j]=min(r[i][j],R[i-1][j]);
    }
    else{
      h[i][j]=1;
      L[i][j]=l[i][j];
      R[i][j]=r[i][j];
    }