UVa1606 Amphiphilic Carbon Molecules

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OI生涯第一道计算几何题！

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首先有一个结论，最优的隔板一定会经过两个点，否则可以使它经过两个点，而答案不会变差

暴力思路

两点确定一条直线，可以暴力枚举两个点，连线之后再统计。时间复杂度(O(n ^ 3))

正解

接下来考虑优化

我们其实可以枚举其中一个点，然后将隔板看作一条绕这个点旋转的直线，然后动态维护答案。也就是扫描法。

枚举点是(O(n))的，为了动态维护答案，需要将其他点按极角排序，是(O(n log n))的，所以总时间复杂度为(O(n ^ 2 log n))

程序中还有一个小优化，就是将黑点以当前的基准点为对称中心，将它对称过去，这样只用统计直线一端的点数就是答案

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int read() {
    int k = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9')
      k = k * 10 + c - 48, c = getchar();
    return k * f;
}
struct zzz {
    int x, y, col;
}p[1010];  //存初始点
struct hhh {
    double x, y, d;
}a[1010];  //重新建系后的点
bool cmp(hhh x, hhh y) {
    return x.d < y.d;
}
bool flag(hhh x, hhh y) { //向量叉积判断x、y相差的角度是否小于180度
     return x.x * y.y - x.y * y.x >= 0;
}
int check(int pos, int n) { //以a[pos]为基准点
    int tot = 0, ans = 2, maxn = 0; //因为分隔线经过两点，所以ans初始值为2
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        if(i == pos) continue;  //去除基准点
        //以下为 以基准点为坐标原点，重新建系
        a[++tot].x = p[i].x - p[pos].x;
        a[tot].y = p[i].y - p[pos].y;
        if(p[i].col) a[tot].x *= -1, a[tot].y *= -1; //上面提到的小优化
        a[tot].d = atan2(a[tot].y, a[tot].x);
    }
    sort(a+1, a+tot+1, cmp);  //按极角排序
    int L = 1, R = 1;  //两个指针动态维护，保证当前区间的合法性
    //ans存a[L]~a[R]之间在直线同一侧的点的数量
    while(L <= tot) { //维护答案
        if(R == L) R = (R%tot) + 1, ++ans;
        while(R != L && flag(a[L], a[R])) R = (R%tot) + 1, ++ans;
        ++L; --ans;
        maxn = max(ans, maxn);
    }
    return maxn;
}
int solve() { //程序框架
    int n = read(), ans = 0;
    if(n == 0) exit(0);
    if(n <= 2) return 2;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
      p[i].x = read(), p[i].y = read(),  p[i].col = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
      ans = max(ans, check(i, n));
    return ans;
}
int main() {
    while(1) printf("%d
", solve());
    return 0;
}