矩阵2

矩阵的逆

假设 AA 是一个方阵，如果存在一个矩阵 A−1A−1，使得 

A−1A=I并且AA−1=IA−1A=I并且AA−1=I

那么，矩阵 AA 就是可逆的，A−1A−1 称为 AA 的逆矩阵。

把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵，此矩阵叫做A的转置矩阵，记做 

例如矩阵

的转置矩阵为

 

基本性质

矩阵的转置和加减乘除一样，也是一种运算，且满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：

扩展

设A为n阶矩阵，如果满足

  

，即

那么A称为对称矩阵

 

上诉解方程运用了三个基本变换，我们称之为初等行变换

• （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
• （对换变换）把两行对换
• （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数

用初等行变化求矩阵的逆矩阵
即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
1 2 3 4 1 0 0 0
2 3 1 2 0 1 0 0
1 1 1 -1 0 0 1 0
1 0 -2 -6 0 0 0 1 第1行减去第3行， 第2行减去第3行×2，第3行减去第4行
～
0 1 2 5 1 0 -1 0
0 1 -1 4 0 1 -2 0
0 1 3 5 0 0 1 -1
1 0 -2 -6 0 0 0 1 第3行减去第1行，第1行减去第2行
～
0 0 3 1 1 -1 1 0
0 1 -1 4 0 1 -2 0
0 0 1 0 -1 0 2 -1
1 0 -2 -6 0 0 0 1 第1行减去第3行×3，第2行加上第3行，第4行加上第3行×2
～
0 0 0 1 4 -1 -5 3
0 1 0 4 -1 1 0 -1
0 0 1 0 -1 0 2 -1
1 0 0 -6 -2 0 4 -1 第2行减去第1行×4，第4行加上第1行×6
～
0 0 0 1 4 -1 -5 3
0 1 0 0 -17 5 20 -13
0 0 1 0 -1 0 2 -1
1 0 0 0 22 -6 -26 17 交换第1行和第4行
～
1 0 0 0 22 -6 -26 17
0 1 0 0 -17 5 20 -13
0 0 1 0 -1 0 2 -1
0 0 0 1 4 -1 -5 3
=( E,A^(-1) )

这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)

于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
22 -6 -26 17
-17 5 20 -13
-1 0 2 -1
4 -1 -5 3