【二分讲解及例题】火车站台连锁店-C++

首先我们先来从一个小游戏理解一下二分。（摘自程序员小灰的博客）

为什么说这样效率最高呢？因为每一次选择数字，无论偏大还是偏小，都可以让剩下的选择范围缩小一半。
给定范围0到1000的整数：

第一次我们选择500，发现偏大了，那么下一次的选择范围，就变成了1到499：
在这里插入图片描述

第二次我们选择250，发现还是偏大了，那么下一次的选择范围，就变成了1到249：在这里插入图片描述

第三次我们选择125，发现偏小了，那么下一次的选择范围，就变成了126到249：在这里插入图片描述

以此类推，最坏的情况需要猜测多少次呢？答案是 log1000 = 10次，也就是让原本的区间范围进行10次 “折半”。
所以我们很容易发现，二分查找并不会占用更多的空间，但是可以让时间复杂度从O(n)缩减到O(log(n))，这样的速度优化在程序中是非常有效的。
其次就是代码实现问题。
基本代码先贴上，先看看能不能理解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100+1];
int main()
{
　　int x,n;
　　cin>>n;
　　for(int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　cin>>a[i];
　　}
　　cin>>x;
　　int left=1,right=n;
　　while(left<=right)
　　{
　　　　int mid=(left+right)/2;
　　　　if(x==mid){cout<<"Find."<<endl<<mid;break;}
　　　　if(mid>x)
　　　　{
　　　　　　right=mid+1;
　　　　}
　　　　else left=mid-1;
　　}
　　if(left>right)cout<<"Not find."<<endl;
　　return 0;
}

left即本次查找区间的左边界，right同理，mid即中点，是下次折半的参照点。
如果要查找的数比中点（mid）还要小，下一次的查找区间就是从left~mid-1，
如果要查找得数比中点（mid）还要大，下一次的查找区间就是从mid+1~right.
如果左边界（left）比右边界（right）还要大，说明这个区间里没有要查找的数，即无法找到。
如果要查找的数就等于中点（mid），说明我们找到了要查找的数。
这几步如果不能理解请参照上面的漫画。
当然，递归也是可以实现的：

void binsearch(int left,int right)
{
　　if(left<=right)
　　{
　　　　int mid=(left+right)/2;
　　　　if (a[mid]==x) {cout<<"Find"<<endl;return;} 
　　　　if (x<a[mid]) binsearch(left,mid-1);
　　　　else binsearch(mid+1,right);
　　} 
　　else cout<<"Not Find"<<endl;
}

大致掌握了概念之后来看看例题；

火车站台连锁店
描述

蒜头君建立了一家火车站台连锁店，要在一条铁路线的所有车站里，选择一部分车站开办连锁店，销售各种口味的大蒜。

铁路线上有 n 个车站，假设这条铁路线是一条直线，其中每个站点的坐标为 x1,x2,x3,x4...xn

蒜头君一共要开办 m 个连锁店，并且不希望连锁店离得太近，以使得整体的收益最大化。他希望他的连锁店之间的最近距离尽可能大，你能帮他算出这个最大的最近距离吗？


输入
第一行输入用空格分隔的两个整数 n,m(2≤n≤10^5,2≤m≤n)，分别表示车站数量和连锁店数量。
接下来一共 n 行，每行一个整数 xi,0≤xi≤10^9，表示车站的坐标。


输出
输出一行整数，表示最大的最近距离。


输入样例 1

6 3
1
3
5
2
7
9
输出样例 1

4
输入样例 2

5 4
5
7
10
28
9
输出样例 2

2

先带着大家理解下题目；
在一段有n个可以开设站台的位置上，请选取其中的m个，使得每两个站台之间的最小距离取得最大值。
大概就是说，你要让这m个站台中，每两个站台之间的距离都尽可能的大。
这道题的二分思路有点复杂emm
首先我们不能直接二分因为压根找不到可以二分的东西

然后因为题目要求输出最短位置，我索性就把最短距离拿来二分！
但是我们需要一个辅助函数count来计算以L为最短距离能够开设多少家店。
函数构造很简单，直接贴上来了：

int count(int l)
{
　　int last=1,ans=1;
　　for(int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　while(a[i]-a[last]<l)
　　　　{
　　　　　　i++;
　　　　　　if(i>n)return ans;
　　　　}
　　　　last=i;
　　　　ans++;
　　}
　　return ans;
}

怎么实现查找？
1.首先确定初始范围
因为我们要把最短距离进行二分查找，所以我们需要一个最初始的left以及right的值。可以肯定的是,这个最短距离L一定在1~最大坐标-最小坐标。
2.画图模拟查找过程!
先假设这个图长这个样子：（n=5，m=4）

第一次L的查找的区间是1~13此时mid=7,将mid传入函数count，发现可以开设2家店。
因为2<m(4)，所以下一次查找区间变成1~7。（left=1，right=7）
第二次L的查找的区间是1~7此时mid=4，将mid传入函数count，发现可以开设3家店。
因为3<m(4)，所以下一次查找区间变成1~4.（left=1，right=4）
第三次L的查找区间是1~4此时mid=2，将mid传入函数count，发现可以开设5家店。
因为5≥m(4)，所以下一次查找区间变成2~4.（left=2，right=4）
第四次L的查找区间是2~4,此时mid=3，将mid传入函数count，发现可以开设4家店。
因为4≥m(4)，所以下一次查找区间变成3~4（left=3，right=4）
接下来如果不停止，left和right和mid的值再也不会发生任何改变！
为什么？
我们二分的写法是while(left<right)
等等！发现什么不对了吗？
因为我们二分的写法是每次left和right其一等于mid，但当它们其中一个和mid相等的时候，这就成了一个死循环！
所以我们改成：

while(right-left>1)

这样就很好的避免了这个问题！
但是，走出二分之后，我们该输出谁的值？right？
这样是不完全正确的！
可能在最短距离为right的时候，我们无法开设得了m个店！因为我们while的写法，所以我们必须多一下判断：

if(count(right)>=m)cout<<right<<endl;
else cout<<left<<endl;

所以当n=5,m=4,图如下的时候，应该输出的数字是3；

完整代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100000+1];
int n,m;
int count(int l)
{
　　int last=1,ans=1;
　　for(int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　while(a[i]-a[last]<l)
　　　　{
　　　　　　i++;
　　　　　　if(i>n)return ans;
　　　　}
　　　　last=i;
　　　　ans++;
　　}
　　return ans;
}
int main()
{
　　cin>>n>>m;
　　for(int i=1;i<=n;i++)
　　{
　　　　cin>>a[i];
　　}
　　sort(a+1,a+1+n);
　　int left=1,right=a[n]-a[1];
　　while(right-left>1)
　　{
　　　　int mid=(left+right)/2;
　　　　if(count(mid)>=m)
　　　　{
　　　　　　left=mid;
　　　　}
　　　　else right=mid;
　　}
　　if(count(right)>=m)cout<<right<<endl;
　　else cout<<left<<endl;
　　return 0;
}

ov.