1. 十大排序算法
其中 冒泡，选择，归并，快速，希尔，堆排序属于比较排序
稳定性理解
如果相等的两个元素，在排序前后的相对位置保持不变，那么这是稳定的排序算法。
-
排序前：5，1，3(a)，4，7，3(b)
-
稳定的排序：1，3(a)，3(b)，4，5，7
-
不稳定的排序：1，3(b)，3(a)，4，5，7
原地算法（In-place Algorithm）理解
定义：不依赖额外的资源或依赖少数的额外资源（空间复杂度较低），仅依靠输出覆盖输入（例如直接对输入的数组进行操作）
2. 工具类
用于提供测试数据与测试代码正确性
2.1 断言工具类
public class Asserts {
public static void test(boolean value) {
try {
if (!value) throw new Exception("测试未通过");
} catch (Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
}
2.2 Integers工具类
public class Integers {
/** 生成随机数 */
public static Integer[] random(int count, int min, int max) {
if (count <= 0 || min > max) return null;
Integer[] array = new Integer[count];
int delta = max - min + 1;
for (int i = 0; i < count; i++) {
array[i] = min + (int)(Math.random() * delta);
}
return array;
}
/** 合并两个数组 */
public static Integer[] combine(Integer[] array1, Integer[] array2) {
if (array1 == null || array2 == null) return null;
Integer[] array = new Integer[array1.length + array2.length];
for (int i = 0; i < array1.length; i++) {
array[i] = array1[i];
}
for (int i = 0; i < array2.length; i++) {
array[i + array1.length] = array2[i];
}
return array;
}
public static Integer[] same(int count, int unsameCount) {
if (count <= 0 || unsameCount > count) return null;
Integer[] array = new Integer[count];
for (int i = 0; i < unsameCount; i++) {
array[i] = unsameCount - i;
}
for (int i = unsameCount; i < count; i++) {
array[i] = unsameCount + 1;
}
return array;
}
/**
* 生成头部和尾部是升序的数组
* disorderCount：希望多少个数据是无序的
*/
public static Integer[] headTailAscOrder(int min, int max, int disorderCount) {
Integer[] array = ascOrder(min, max);
if (disorderCount > array.length) return array;
int begin = (array.length - disorderCount) >> 1;
reverse(array, begin, begin + disorderCount);
return array;
}
/**
* 生成中间是升序的数组
* disorderCount：希望多少个数据是无序的
*/
public static Integer[] centerAscOrder(int min, int max, int disorderCount) {
Integer[] array = ascOrder(min, max);
if (disorderCount > array.length) return array;
int left = disorderCount >> 1;
reverse(array, 0, left);
int right = disorderCount - left;
reverse(array, array.length - right, array.length);
return array;
}
/**
* 生成头部是升序的数组
* disorderCount：希望多少个数据是无序的
*/
public static Integer[] headAscOrder(int min, int max, int disorderCount) {
Integer[] array = ascOrder(min, max);
if (disorderCount > array.length) return array;
reverse(array, array.length - disorderCount, array.length);
return array;
}
/**
* 生成尾部是升序的数组
* disorderCount：希望多少个数据是无序的
*/
public static Integer[] tailAscOrder(int min, int max, int disorderCount) {
Integer[] array = ascOrder(min, max);
if (disorderCount > array.length) return array;
reverse(array, 0, disorderCount);
return array;
}
/** 升序生成数组 */
public static Integer[] ascOrder(int min, int max) {
if (min > max) return null;
Integer[] array = new Integer[max - min + 1];
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
array[i] = min++;
}
return array;
}
/** 降序生成数组 */
public static Integer[] descOrder(int min, int max) {
if (min > max) return null;
Integer[] array = new Integer[max - min + 1];
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
array[i] = max--;
}
return array;
}
/** 反转数组 */
private static void reverse(Integer[] array, int begin, int end) {
int count = (end - begin) >> 1;
int sum = begin + end - 1;
for (int i = begin; i < begin + count; i++) {
int j = sum - i;
int tmp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = tmp;
}
}
/** 复制数组 */
public static Integer[] copy(Integer[] array) {
return Arrays.copyOf(array, array.length);
}
/** 判断数组是否升序 */
public static boolean isAscOrder(Integer[] array) {
if (array == null || array.length == 0) return false;
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) return false;
}
return true;
}
/** 打印数组 */
public static void println(Integer[] array) {
if (array == null) return;
StringBuilder string = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
if (i != 0) string.append("_");
string.append(array[i]);
}
System.out.println(string);
}
}
2.3 时间测试工具类
public class Times {
private static final SimpleDateFormat fmt = new SimpleDateFormat("HH:mm:ss.SSS");
public interface Task {
void execute();
}
public static void test(String title, Task task) {
if (task == null) return;
title = (title == null) ? "" : ("【" + title + "】");
System.out.println(title);
System.out.println("开始：" + fmt.format(new Date()));
long begin = System.currentTimeMillis();
task.execute();
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("结束：" + fmt.format(new Date()));
double delta = (end - begin) / 1000.0;
System.out.println("耗时：" + delta + "秒");
System.out.println("-------------------------------------");
}
}
2.4 Sort抽象父类
public abstract class Sort<T extends Comparable<T>> implements Comparable<Sort<T>> {
/** 目标数组 */
protected T[] array;
/** 比较次数 */
private int cmpCount;
/** 交换次数 */
private int swapCount;
/** 执行时间 */
private long time;
/** 小数格式化 */
private DecimalFormat fmt = new DecimalFormat("#.00");
/** 预处理 */
public void sort(T[] array) {
if (array == null || array.length < 2) return;
this.array = array;
long begin = System.currentTimeMillis();
sort();
time = System.currentTimeMillis() - begin;
}
/** 目标方法 */
protected abstract void sort();
/**
* 比较数组下标对应的值
*
* 返回值等于0，代表 array[index1] == array[index2]
* 返回值小于0，代表 array[index1] < array[index2]
* 返回值大于0，代表 array[index1] > array[index2]
*/
protected int cmp(int index1, int index2) {
cmpCount++;
return array[index1].compareTo(array[index2]);
}
/** 比较值 */
protected int cmp(T value1, T value2) {
cmpCount++;
return value1.compareTo(value2);
}
/** 交换值 */
protected void swap(int index1, int index2) {
swapCount++;
T tmp = array[index1];
array[index1] = array[index2];
array[index2] = tmp;
}
/** 稳定性测试 */
@SuppressWarnings("unchecked")
private boolean isStable() {
Student[] students = new Sort.Student[20];
for (int i = 0; i < students.length; i++) {
//（0，10） （10，10） （20，10） （30，10）
students[i] = new Student(i * 10, 10);
}
sort((T[]) students);//只会对年龄进行排序
for (int i = 1; i < students.length; i++) {
int score = students[i].score;
int prevScore = students[i - 1].score;
if (score != prevScore + 10) return false;
}
return true;
}
private static class Student implements Comparable<Student>{
Integer score;
Integer age;
public Student(Integer score, Integer age) {
this.score = score;
this.age = age;
}
@Override
public int compareTo(Student o) {
return age - o.age;
}
}
/** 排序方式 */
@Override
public int compareTo(Sort o) {
int result = (int)(time - o.time);
if(result != 0) return result;
result = cmpCount - o.cmpCount;
if(result != 0) return result;
return swapCount - o.swapCount;
}
@Override
public String toString() {
return "【" + getClass().getSimpleName() + "】
"
+ "交换次数 ==> " + numberString(swapCount) + "
"
+ "比较次数 ==> " + numberString(cmpCount) + "
"
+ "执行时间 ==> " + time * 0.001 + "s" + "
"
+ "稳定性 ==> " + isStable() + "
"
+ "=================================";
}
/** 数字格式化 */
private String numberString(int number) {
if (number < 10000) return "" + number;
if (number < 100000000) {
return fmt.format(number / 10000.0) + "万";
}
return fmt.format(number / 100000000.0) + "亿";
}
}
3. 冒泡排序（Bubble Sort）
3.1 执行流程
- 从头开始比较每一对相邻元素，如果第一个比第二个大就交换它们的位置。执行完一轮后最末尾哪个元素就是最大的元素
- 忽略第一步找到的最大元素，重复执行第一步，直到全部元素有序
3.2 基本实现
public void sort() {
for (int eIndex = array.length - 1; eIndex > 0; eIndex--) {
for (int i = 1; i <= eIndex; i++) {
if (cmp(i, i - 1) < 0) {
swap(i, i - 1);
}
}
}
}
3.4 优化一
优化方案：如果序列已经完全有序，可以提前终止冒泡排序
缺点：只有当完全有序时才会提前终止冒泡排序，概率很低
public void sort() {
for (int eIndex = array.length - 1; eIndex > 0; eIndex--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i <= eIndex; i++) {
if (cmp(i,i - 1) < 0) {
swap(i, i - 1);
sorted = false;
}
}
if (sorted) break;
}
}
3.5 优化二
优化方案：如果序列尾部已经局部有序，可以记录最后一次交换的位置，减少比较次数
public class BubbleSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
/**
* 优化方式二：如果序列尾部已经局部有序，可以记录最后依次交换的位置，减少比较次数
* 为什么这里sortedIndex为1（只要保证 eIndex-- > 0 即可）？
* => 如果sortedIndex为eIndex，当数组第一次就完全有序时，就退回到最初的版本了
* => 如果sortedIndex为1，当数组第一次就完全有序时，一轮扫描就结束了！
*
*/
@Override
public void sort() {
for (int eIndex = array.length - 1; eIndex > 0; eIndex--) {
int sortedIndex = 1; //记录最后一次交换的下标位置
for (int i = 1; i <= eIndex; i++) {
if (cmp(i, i - 1) < 0) {
swap(i, i - 1);
sortedIndex = i;
}
}
eIndex = sortedIndex;
}
}
}
3.6 算法优劣
-
最坏，平均时间复杂度：O(n^2），最好时间复杂度：O(n)
-
空间复杂度：O(1)
-
属于稳定排序
注意：稍有不慎，稳定的排序算法也能被写成不稳定的排序算法，如下冒泡排序是不稳定的
public void sort() {
for (int eIndex = array.length - 1; eIndex > 0; eIndex--) {
for (int i = 1; i <= eIndex; i++) {
if (cmp(i, i - 1) <= 0) {
swap(i, i - 1);
}
}
}
}
- 属于原地算法
4. 选择排序（Selection Sort）
4.1 执行流程
- 从序列中找出最大的哪个元素，然后与最末尾的元素交换位置。执行完一轮后最末尾那个元素就是最大的元素
- 忽略第一步找到的最大元素，重复执行第一步
这里以选最小元素为例
4.2 基本实现
public class SelectionSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
public void sort() {
for (int eIndex = array.length - 1; eIndex > 0; eIndex--) {
int maxIndex = 0;
for (int i = 1; i <= eIndex; i++) {
//注意：为了稳定性，这里要写 <=
if (cmp(maxIndex, i) <= 0) {
maxIndex = i;
}
}
if(maxIndex != eIndex) swap(maxIndex, eIndex);
}
}
}
4.3 算法优劣
- 选择排序的交换次数要远少于冒泡排序，平均性能优于冒泡排序
- 最好，最坏，平均时间复杂度均为O(n^2)，空间复杂度为O(1)，属于不稳定排序
选择排序是否还有优化的空间？ => 使用堆来选择最大值
5. 堆排序（Heap Sort）
堆排序可以认为是对选择排序的一种优化
5.1 执行流程
- 对序列进行原地建堆（heapify）
- 重复执行以下操作，直到堆的元素数量为1
- 交换堆顶元素与尾元素
- 堆的元素数量减1
- 对0位置进行一次siftDown操作
5.2 基本实现
public class HeapSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
/** 记录堆数据 */
private int heapSize;
@Override
protected void sort() {
// 原地建堆（直接使用数组建堆）
heapSize = array.length;
for (int i = (heapSize >> 1) - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
while (heapSize > 1) {
// 交换堆顶元素和尾部元素
swap(0, --heapSize);
// 对0位置进行siftDown（恢复堆的性质）
siftDown(0);
}
}
/** 堆化 */
private void siftDown(int index) {
T element = array[index];
int half = heapSize >> 1;
while (index < half) { // index必须是非叶子节点
// 默认是左边跟父节点比
int childIndex = (index << 1) + 1;
T child = array[childIndex];
int rightIndex = childIndex + 1;
// 右子节点比左子节点大
if (rightIndex < heapSize &&
cmp(array[rightIndex], child) > 0) {
child = array[childIndex = rightIndex];
}
// 大于等于子节点
if (cmp(element, child) >= 0) break;
array[index] = child;
index = childIndex;
}
array[index] = element;
}
}
5.2 算法优劣
-
最好，最坏，平均时间复杂度：O(nlog^n)
-
空间复杂度：O(1)
-
属于不稳定排序
5.3. 冒泡，选择，堆排序比较
@SuppressWarnings({"rawtypes","unchecked"})
public class SortTest {
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr1 = Integers.random(10000, 1, 20000);
testSort(arr1,
new SelectionSort(),
new HeapSort(),
new BubbleSort());
}
static void testSort(Integer[] arr,Sort... sorts) {
for (Sort sort: sorts) {
Integer[] newArr = Integers.copy(arr);
sort.sort(newArr);
//检查排序正确性
Asserts.test(Integers.isAscOrder(newArr));
}
Arrays.sort(sorts);
for (Sort sort: sorts) {
System.out.println(sort);
}
}
}
6. 插入排序（Insertion Sort）
6.1 执行流程
-
在执行过程中，插入排序会将序列分为两部分（头部是已经排好序的，尾部是待排序的）
-
从头开始扫描每一个元素，每当扫描到一个元素，就将它插入到头部适合的位置，使得头部数据依然保持有序
6.2 基本实现
public class InsertionSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
protected void sort() {
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
int cur = i;
while(cur > 0 && cmp(cur,cur - 1) < 0) {
swap(cur,cur - 1);
cur--;
}
}
}
}
6.3 逆序对（Inversion）
什么是逆序对？ => 数组 [2,3,8,6,1] 的逆序对为：<2,1> < 3,1> <8,1> <8,6> <6,1>
插入排序的时间复杂度与逆序对的数量成正比关系
时间复杂度最高如下：O(n^2)
6.4 优化一
优化思路 => 将交换改为挪动
-
先将待插入元素备份
-
头部有序数据中比待插入元素大的，都朝尾部方向挪动1个位置
-
将待插入元素放到最终合适位置
注意：逆序对越多，该优化越明显
public class InsertionSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
protected void sort() {
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
int cur = i;
T val = array[cur];
while(cur > 0 && cmp(val,array[cur - 1]) < 0) {
array[cur] = array[cur - 1];//优化重点在这里
cur--;
}
array[cur] = val;
}
}
}
6.5 优化二
优化思路 => 将交换改为二分搜索（较少比较次数）
二分搜索理解
如何确定一个元素在数组中的位置？（假设数组里全是整数）
-
如果是无序数组，从第 0 个位置开始遍历搜索，平均时间复杂度：O(n)
-
如果是有序数组，可以使用二分搜索，最坏时间复杂度：O(log^n)
思路
- 如下，假设在 [begin, end) 范围内搜索某个元素 v，mid == (begin + end) / 2
- 如果 v < mid，去 [begin,mid) 范围内二分搜索
- 如果 v > mid，去 [mid + 1,end) 范围内二分搜索
- 如果 v == mid，直接返回 mid
实例
/** 二分搜索-基本实现
* 查找val在有序数组arr中的位置，找不到就返回-1
*/
private static int indexOf(Integer[] arr,int val) {
if(arr == null || arr.length == 0) return -1;
int begin = 0;
//注意这里end设计为arr.length便于求数量（end - begin）
int end = arr.length;
while (begin < end) {
int mid = (begin + end) >> 1;
if(val < arr[mid]) {
end = mid;
} else if(val > arr[mid]) {
begin = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
return -1;
}
二分搜索(Binary Search)优化实现
- 之前的插入排序代码，在元素 val 的插入过程中，可以先二分搜索出合适的插入位置，然后将元素 val 插入
- 适合于插入排序的二分搜索必须满足：要求二分搜索返回的插入位置是第1个大于 val 的元素位置
- 如果 val 是 5 ，返回 2
- 如果 val 是 1，返回 0
- 如果 val 是15，返回 7
- 如果 val 是 8，返回 5
- 实现思路
- 假设在 [begin,end) 范围内搜索某个元素 val，mid == (begin + end) / 2
- 如果val < mid，去 [begin,mid) 范围内二分搜索
- 如果val >= mid，去 [mid + 1,end) 范围内二分搜索
- 当 begin == end == x，x 就是待插入位置
- 实例
/**
* 二分搜索-适用于插入排序
* 查找val在有序数组arr中可以插入的位置
* 规定：要求二分搜索返回的插入位置是第1个大于 val 的元素位置
*/
private static int search(Integer[] arr,int val) {
if(arr == null || arr.length == 0) return -1;
int begin = 0;
int end = arr.length;
while (begin < end) {
int mid = (begin + end) >> 1;
if(val < arr[mid]) {
end = mid;
} else {
begin = mid + 1;
}
}
return begin;
}
插入排序最终实现
注意：使用了二分搜索后，只是减少了比较次数，但插入排序的平均时间复杂度依然是O(n^2)
public class InsertionSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
/** 优化 => 二分搜索 */
@Override
protected void sort() {
for (int begin = 1; begin < array.length; begin++) {
//这里为什么传索引而不是传值？
// => 传索引还可以知道前面已经排好序的数组区间：[0,i)
insert(begin,search(begin));
}
}
/** 将source位置的元素插入到dest位置 */
private void insert(int source,int dest) {
//将[dest,source)范围内的元素往右边挪动一位
T val = array[source];
for (int i = source; i > dest; i--) {
array[i] = array[i - 1];
}
//插入
array[dest] = val;
}
private int search(int index) {
T val = array[index];
int begin = 0;
int end = index;
while (begin < end) {
int mid = (begin + end) >> 1;
if(cmp(val,array[mid]) < 0) {
end = mid;
} else {
begin = mid + 1;
}
}
return begin;
}
}
6.6 算法优劣
- 最坏，平均时间复杂度为 O(n^2)，最好时间复杂度为 O(n)
- 空间复杂度为 O(1)
- 属于稳定排序
7. 归并排序（Merge Sort）
7.1 执行流程
- 不断的将当前序列平均分割成 2 个子序列，直到不能再分割（序列中只剩一个元素）
- 不断的将 2 个子序列合并成一个有序序列，直到最终只剩下 1 个有序序列
7.2 思路
merge
大致想法
细节
- 需要 merge 的 2 组序列存在于同一个数组中，并且是挨在一起的
- 为了更好的完成 merge 操作，最好将其中 1 组序列备份出来，比如 [begin,mid)
- 基本实现
- 情况一：左边先结束 => 左边一结束整个归并就结束
- 情况二：右边先结束 => 右边一结束就直接将左边按顺序挪到右边去
7.3 基本实现
@SuppressWarnings("unchecked")
public class MergeSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
private T[] leftArr;
@Override
protected void sort() {
leftArr = (T[]) new Comparable[array.length >> 1];
sort(0, array.length);
}
/** 对 [begin,end) 位置的元素进行归并排序 */
private void sort(int begin, int end) {
if (end - begin < 2) return;
int mid = (begin + end) >> 1;
sort(begin, mid);
sort(mid, end);
merge(begin, mid, end);
}
/** 将 [begin,mid) 和 [mid,end) 范围的序列合并成一个有序序列 */
private void merge(int begin, int mid, int end) {
int li = 0, le = mid - begin;
int ri = mid, re = end;
int ai = begin;
//备份左边数组
for (int i = 0; i < le; i++) {
leftArr[i] = array[begin + i];
}
//如果左边还没有结束（情况一）
while (li < le) {
//当 ri < re 不成立，就会一直leftArr挪动（情况二）
if (ri < re && cmp(array[ri],leftArr[li]) < 0) {
array[ai++] = array[ri++];
} else { //注意稳定性
array[ai++] = leftArr[li++];
}
}
}
}
7.4 算法优劣
复杂度分析
T(n) = sort() + sort() + merge()
=> T(n) = T(n/2) + T(n/2) + O(n)
=> T(n) = 2T(n/2) + O(n)
//由于sort()是递归调用，用T表示，由于T(n/2)不好估算，现在要理清T(n)与O(n)之间的关系
T(1) = O(1)
T(n)/n = T(n/2) / (n/2) + O(1)
//令S(n) = T(n)/n
S(1) = O(1)
S(n) = S(n/2) + O(1)
= S(n/4) + O(2)
= S(n/8) + O(3)
= S( n/(2^k) ) + O(k)
= S(1) + O(log^n)
= O(lon^n)
T(n) = n*S(n) = O(nlog^n)
=> 归并排序时间复杂度：O(nlog^n)
常见递推式
总结
-
由于归并排序总是平均分割子序列，所以最好，最坏，平均时间复杂度都是：O(nlog^n)
-
空间复杂度：O(n/2 + log^n) = O(n)，n/2用于临时存放左侧数组，log^n用于递归调用
-
属于稳定排序