经典算法题 -- 百钱买百鸡

百钱买百鸡的问题算是一套非常经典的不定方程的问题，题目很简单：

公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡3只一文钱，用100文钱买一百只鸡，其中公鸡，母鸡，小鸡都必须要有。

问：公鸡，母鸡，小鸡要买多少只刚好凑足100文钱。

分析：估计现在小学生都能手工推算这套题，只不过我们用计算机来推算，我们可以设公鸡为x，母鸡为y，小鸡为z，

         那么我们可以得出如下的不定方程，

         x+y+z=100,          ①

         5x+3y+z/3=100，  ②

         ①代表100鸡和②代表100钱。

        下面再看看x，y，z的取值范围。

        由于只有100文钱，则5x<100 => 0<x<20, 同理  0<y<33,那么z=100-x-y，

        好，我们已经分析清楚了，下面就可以编码了。

using System;
using System.Collections.Generic;

public class MyClass
{
    public static void Main()
    {
        //公鸡的上线
        for (int x = 0; x < 20; x++)
        {
            //母鸡的上线
            for (int y = 0; y < 33; y++)
            {
                //剩余小鸡
                int z = 100 - x - y;
                if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100))
                {
                    System.Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);
                }
            }
        }
        Console.ReadLine();
    }
}

 

结果出来了，确实这道题非常简单，我们要知道目前的时间复杂度是O(N²),实际应用中这个复杂度是不能让你接受的，最多最多能让

人接受的是O(N)。

所以说我们必须要优化一下，从结果中我们可以发现这样的一个规律：公鸡是4的倍数,母鸡是7的递减率，小鸡是3的递增率，规律哪里

来，肯定需要我们推算一下这个不定方程。

    x+y+z=100          ①

    5x+3y+z/3=100    ②

 令②x3-① 可得

    7x+4y=100

=>y=25-(7/4)x          ③

又因为0<y<100的自然数，则可令

=> x=4k                    ④

将④代入③可得

=> y=25-7k               ⑤

将④⑤代入①可知

=> z=75+3k               ⑥

根据上面得出的 ④⑤⑥ 式子求K的区间，要保证0<x，y，z<100的话，

0<4k<100  
0<25-7k<100 
0<75+3k<100

满足上面的三个式子，k的取值范围只能是1,2,3，下面我们继续上代码。

using System;
using System.Collections.Generic;

public class MyClass
{
    public static void Main()
    {
        int x, y, z;
        for (int k = 0; k <= 3; k++)
        {
            x = 4 * k;
            y = 25 - 7 * k;
            z = 75 + 3 * k;
    
            Console.WriteLine("公鸡:{0}只，母鸡:{1}只,小鸡:{2}只", x, y, z);
        }
        Console.ReadLine();
    }
}

这一次我们做到了O(N)的时间复杂度，很不错，起码优化到了我能接受的范围内，或许我们感觉到了数学的魅力，是的，因为....

数学是科学的皇后。皇上自然就是物理了...

出处：http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/08/05/2624156.html