平衡二叉树：一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树
- 左子树和右子树都是平衡二叉树
- 左子树和右子树的深度只差不超过1
把二叉树节点的平衡因子BF(Balance Factor)定义为该节点的左子树深度减去右子树深度，则平衡二叉树所有结点的平衡因子只能是-1，0，1。只要有一个结点的平衡因子绝对值大于一就是不平衡的；
平衡二叉树的构造
对二叉树结点做一下定义，bf用来记录结点的平衡因子
1 typedef struct BSTNode{ 2 int val; 3 int bf; 4 struct BSTNode *lchild, *rchild; 5 }BSTNode, *BSTree;
在插入新结点的过程中，会出现平衡因子绝对值大于2的情况，这时就需要进行一定的条件，让二叉树保持平衡。失去平衡后进行的调整规律可以归纳为以下四种
- 单项右旋处理
- 单项左旋处理
- 双向(先左后右)旋转处理
- 双向(先右后左)旋转处理
单项右旋处理， p为失去平衡的结点。右旋的思路就是
1 void R_Roate(BSTree& p){ 2 BSTree temp = p->lchild; 3 p->lchild = temp->rchild; 4 temp->rchild = p; 5 p = temp; 6 }
向二叉树中插入结点：先找到结点插入的位置，建立该结点。调整相关结点的平衡因子。若导致结点失去平衡则需要进行选择，让二叉树恢复平衡。 如何找到新结点插入位置？ 如果val的值比当前结点的值小，则继续在当前结点的左子树中寻找插入位置。 如果val的值比当前结点的值大，则继续在当前结点的右子树中寻找插入位置。直到找到一个空的位置位置。当然如果发现存在相同的val，则表示已经存在于二叉树中， 插入失败； 那么又如何判断二叉树是否失去平衡呢？ 当当前结点的平衡因子是0的时候，表示该节点左右两边的高度一致，插入一个结点并不会改变当前结点的平衡性，但是会改变当前结点的平衡因子； 当当前结点的平衡因子为1的时候，表示当前节点的左子树比右子树高， 若在当前结点左边插入结点， 必定会导致当前结点的左子树高度和右子树高度相差大于2. 引起不平衡。需要进行旋转来让二叉树恢复平衡， 如果在右子树插入结点，又会让当前结点的的平衡因子变为0；平衡因子为-1的分析过程和前面类似。 参数taller用来标志插入新结点是否让二叉树高度增加， 可以减少程序的计算量
1 bool InsertAVL(BSTree& T, int val, bool& taller){ 2 if(!T){//插入新结点，树变高 3 T = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode)); 4 T->val = val; T->bf = EH; T->lchild = T->rchild = NULL; 5 taller = true; 6 }else{ 7 if(val==T->val){taller = false; return false;} //如果val存在于二叉树中， 则插入失败 8 if(val<T->val){ //若果val比当前结点的值小，则把新结点插入到当前结点的左子树中 9 if(!InsertAVL(T->lchild, val, taller)) return false; 10 if(taller){ 11 switch(T->bf){ //插入新结点后要对当前结点的平衡因子做出相应的修改 12 case LH:{LeftBalance(T); taller=false; break;} 13 case EH:{taller = true; T->bf = LH; break;} 14 case RH:{taller = false; T->bf = EH; break;} 15 }} 16 }else{ 17 if(!InsertAVL(T->rchild, val, taller)) return false; 18 if(taller){ 19 switch(T->bf){ 20 case LH:{T->bf = EH; taller = false; break;} 21 case EH:{T->bf = RH; taller = true; break;} 22 case RH:{RightBalance(T); taller = false; break;} 23 }} 24 } 25 } 26 return true; 27 }
全部代码
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 /* 4 author: Lai XingYu 5 date: 2018/5/18 6 describe: AVL 7 */ 8 #define LH +1 9 #define EH 0 10 #define RH -1 11 12 typedef struct BSTNode{ 13 int val; 14 int bf; 15 struct BSTNode *lchild, *rchild; 16 }BSTNode, *BSTree; 17 18 void R_Roate(BSTree& p){ 19 BSTree temp = p->lchild; 20 p->lchild = temp->rchild; 21 temp->rchild = p; 22 p = temp; 23 } 24 25 void L_Roate(BSTree& p){ 26 BSTree temp = p->rchild; 27 p->rchild = temp->lchild; 28 temp->lchild = p; 29 p = temp; 30 } 31 32 void LeftBalance(BSTree& T){ 33 BSTree temp = T->lchild; 34 switch(temp->bf){ 35 case LH:{T->bf = temp->bf = EH; R_Roate(T); break;} 36 case RH:{ 37 BSTree t = temp->rchild; 38 switch(t->bf){ 39 case LH:{temp->bf = EH; T->bf = RH; break;} 40 case EH:{temp->bf = EH; T->bf = EH; break;} 41 case RH:{temp->bf = LH; T->bf = EH; break;} 42 } 43 t->bf = EH; 44 L_Roate(T->lchild); 45 R_Roate(T); 46 } 47 } 48 } 49 50 void RightBalance(BSTree& T){ 51 BSTree temp = T->rchild; 52 switch(temp->bf){ 53 case LH:{ 54 BSTree t = temp->lchild; 55 switch(t->bf){ 56 case LH:{T->bf = EH; temp->bf = RH; break;} 57 case EH:{T->bf = EH; temp->bf = EH; break;} 58 case RH:{T->bf = LH; temp->bf = EH; break;} 59 } 60 t->bf = EH; 61 R_Roate(T->rchild); 62 L_Roate(T); 63 } 64 case RH:{T->bf = temp->bf = EH; L_Roate(T); break;} 65 } 66 } 67 68 /* 69 taller标志插入新结点后，树的高度是否变高 70 如果val在二叉树中，则插入失败 71 如果插入结点让二叉树失去平衡，则要进行选择处理，让二叉树恢复平衡 72 */ 73 bool InsertAVL(BSTree& T, int val, bool& taller){ 74 if(!T){//插入新结点，树变高 75 T = (BSTree) malloc(sizeof(BSTNode)); 76 T->val = val; T->bf = EH; T->lchild = T->rchild = NULL; 77 taller = true; 78 }else{ 79 if(val==T->val){taller = false; return false;} //如果val存在于二叉树中， 则插入失败 80 if(val<T->val){ //若果val比当前结点的值小，则把新结点插入到当前结点的左子树中 81 if(!InsertAVL(T->lchild, val, taller)) return false; 82 if(taller){ 83 switch(T->bf){ //插入新结点后要对当前结点的平衡因子做出相应的修改 84 case LH:{LeftBalance(T); taller=false; break;} 85 case EH:{taller = true; T->bf = LH; break;} 86 case RH:{taller = false; T->bf = EH; break;} 87 }} 88 }else{ 89 if(!InsertAVL(T->rchild, val, taller)) return false; 90 if(taller){ 91 switch(T->bf){ 92 case LH:{T->bf = EH; taller = false; break;} 93 case EH:{T->bf = RH; taller = true; break;} 94 case RH:{RightBalance(T); taller = false; break;} 95 }} 96 } 97 } 98 return true; 99 } 100 101 void inorder(BSTree T){ 102 if(!T) return; 103 if(T->lchild) inorder(T->lchild); 104 cout<<T->val<<" "; 105 if(T->rchild) inorder(T->rchild); 106 } 107 int main(){ 108 int t[] = {1,2,3,4,5,6,7}; 109 int f[] = {1,2,5,3,7,6,4}; 110 BSTree T = NULL; 111 bool taller; 112 for(int i=0; i<7; i++) InsertAVL(T, f[i], taller); 113 inorder(T); 114 return 0;}
inorder()遍历一颗二叉树，得到的序列一定是单调的。
通过上面的例子可以看到，用相同的数字，不同顺序的序列来构建平衡二叉树，得到的结果是一样的。
平衡二叉树可以让二叉树的高度保持在Logn; 查找任何一个结点，需要进行的比较次数也不会超过logn。
但是如果构建avl的结点是降序的，会对二叉树进行多次选择，带来的开销也是非常大的。