【动态规划】最佳加法表达式（百练oj4152）

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描述

给定n个1到9的数字，要求在数字之间摆放m个加号(加号两边必须有数字），使得所得到的加法表达式的值最小，并输出该值。例如，在1234中摆放1个加号，最好的摆法就是12+34,和为36

输入

有不超过15组数据
每组数据两行。第一行是整数m，表示有m个加号要放( 0<=m<=50)
第二行是若干个数字。数字总数n不超过50,且 m <= n-1

输出

对每组数据，输出最小加法表达式的值

样例输入

2
123456
1
123456
4
12345

样例输出

102
579
15

提示

要用到高精度计算，即用数组来存放long long 都装不下的大整数，并用模拟列竖式的办法进行大整数的加法。

来源

Guo Wei

题解：

本题难点在于利用数组实现高精度运算，模拟加减乘除

假设数字串的长度为 n，求将 m 个加号放入该字符串所形成的最小值

首先，分解子问题，规定最后一个加号的位置，假设将最后一个加号放在第 i 个数字后面，这时该问题就变成了在前i个数字中插入m - 1个加号所形成的最小值，加上第i + 1到第 n 个数字所组成的数的值（ i 从 1 算起）

所以可以定义一个字符串加的函数add，利用引用型参数传递值。注意：字符串相加减，一定要注意高低位之分，可以在之前将字符串反转（可用STL中的 reverse(str.begin() , str.end()) 函数)

void add(string &num1, string &num2, string &num3) {
    int l1 = num1.length();
    int l2 = num2.length();
    int c = 0;//进位标志
    int maxl  = Maxlen;
    
    for(int i = 0; i < maxl; i++) {
        int t;
        if(i < l1 && i < l2) {
            t = num1[i] + num2[i] - 2 * '0' + c;
        }
        else if(i < l1 && i >= l2) {
            t = num1[i] - '0' + c;
        }
        else if(i >= l1 && i < l2) {
            t = num2[i] - '0' + c;
        }
        else {
            break;
        }
        num3.append(1, t % 10 + '0');
        c = t / 10;
    }
    while (c)
    {
        num3.append(1,c%10+'0');
        c /= 10;
    }
}

总代码：

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>

const int Maxlen = 55;
const string maxv = "9999999999999999999999999999999999999999999";
string ret[Maxlen][Maxlen];
string num[Maxlen][Maxlen];

int cmp(string &num1, string &num2) {
    int l1 = num1.length();
    int l2 = num2.length();
    if(l1 != l2) {
        return (l1 - l2);
    }
    else {
        for(int i = l1 - 1; i >= 0; i--) {
            if(num1[i] != num2[i]) {
                return (num1[i] - num2[i]);
            }
        }
        return 0;
    }
}

void add(string &num1, string &num2, string &num3) {
    int l1 = num1.length();
    int l2 = num2.length();
    int c = 0;//进位标志
    int maxl  = Maxlen;
    
    for(int i = 0; i < maxl; i++) {
        int t;
        if(i < l1 && i < l2) {
            t = num1[i] + num2[i] - 2 * '0' + c;
        }
        else if(i < l1 && i >= l2) {
            t = num1[i] - '0' + c;
        }
        else if(i >= l1 && i < l2) {
            t = num2[i] - '0' + c;
        }
        else {
            break;
        }
        num3.append(1, t % 10 + '0');
        c = t / 10;
    }
    while (c)
    {
        num3.append(1,c%10+'0');
        c /= 10;
    }
}

int main() {
    int m;
    string str;
    while(cin >> m >> str) {
        //加法从低位到高位相加，那么需要将字符串倒过来
        reverse(str.begin(), str.end());
        int n = str.length();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            num[i + 1][i + 1] = str.substr(i, 1);
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
                num[i][j] = str.substr(i - 1, j - i + 1);
            }
        }
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {//加号数目为0的时候
            ret[0][i] = num[1][i];
        }
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                string minv = maxv;
                string temp;
                for(int k = i; k <= j - 1; k++){//ret[m][n] = min(ret[m-1][i] + num[i+1][n]);
                    temp.clear();
                    add(ret[i - 1][k], num[k + 1][j], temp);
                    if(cmp(temp, minv) < 0) {
                        minv = temp;
                    }
                }
                ret[i][j] = minv;
            }
        }
        reverse(ret[m][n].begin(), ret[m][n].end());
        cout << ret[m][n] << endl;
    }
    return 0;
}

 参考链接 https://blog.csdn.net/qq_35049196/article/details/58247829