算法第四版学习笔记之归并算法

软件：DrJava

参考书：算法（第四版）

章节：2.2归并排序（以下截图是算法配套视频所讲内容截图）

1：mergesort 归并排序

2：bottom-up mergesort 自底向上的归并排序

3：sorting complexity 排序的复杂度

4：comparators 比较器

5：stability 稳定性

、

1：mergesort 归并排序

/*************************************************************************
 *  Compilation:  javac Merge.java
 *  Execution:    java Merge < input.txt
 *  Dependencies: StdOut.java StdIn.java
 *  Data files:   http://algs4.cs.princeton.edu/22merge/tiny.txt
 *                http://algs4.cs.princeton.edu/22merge/words3.txt
 *   
 *  Sorts a sequence of strings from standard input using mergesort.
 *   
 *  % more tiny.txt
 *  S O R T E X A M P L E
 *
 *  % java Merge < tiny.txt
 *  S O R T E X A M P L E A               [ one string per line ]
 *    
 *  % more words3.txt
 *  bed bug dad yes zoo ... all bad yet
 *  
 *  % java Merge < words3.txt
 *  all bad bed bug dad ... yes yet zoo    [ one string per line ]
 *  
 *************************************************************************/

public class Merge {

    // stably merge a[lo .. mid] with a[mid+1 .. hi] using aux[lo .. hi]
    public static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {

        // precondition: a[lo .. mid] and a[mid+1 .. hi] are sorted subarrays
        assert isSorted(a, lo, mid);
        assert isSorted(a, mid+1, hi);

        // copy to aux[]
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            aux[k] = a[k]; 
        }

        // merge back to a[]
        int i = lo, j = mid+1;
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            if      (i > mid)              a[k] = aux[j++];
            else if (j > hi)               a[k] = aux[i++];
            else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];
            else                           a[k] = aux[i++];
        }

        // postcondition: a[lo .. hi] is sorted
        assert isSorted(a, lo, hi);
    }

    // mergesort a[lo..hi] using auxiliary array aux[lo..hi]
    private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo) return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(a, aux, lo, mid);
        sort(a, aux, mid + 1, hi);
        merge(a, aux, lo, mid, hi);
    }

    public static void sort(Comparable[] a) {
        Comparable[] aux = new Comparable[a.length];
        sort(a, aux, 0, a.length-1);
        assert isSorted(a);
    }


   /***********************************************************************
    *  Helper sorting functions
    ***********************************************************************/
    
    // is v < w ?
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return (v.compareTo(w) < 0);
    }
        
    // exchange a[i] and a[j]
    private static void exch(Object[] a, int i, int j) {
        Object swap = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = swap;
    }


   /***********************************************************************
    *  Check if array is sorted - useful for debugging
    ***********************************************************************/
    private static boolean isSorted(Comparable[] a) {
        return isSorted(a, 0, a.length - 1);
    }

    private static boolean isSorted(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        for (int i = lo + 1; i <= hi; i++)
            if (less(a[i], a[i-1])) return false;
        return true;
    }


   /***********************************************************************
    *  Index mergesort
    ***********************************************************************/
    // stably merge a[lo .. mid] with a[mid+1 .. hi] using aux[lo .. hi]
    private static void merge(Comparable[] a, int[] index, int[] aux, int lo, int mid, int hi) {

        // copy to aux[]
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            aux[k] = index[k]; 
        }

        // merge back to a[]
        int i = lo, j = mid+1;
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            if      (i > mid)                    index[k] = aux[j++];
            else if (j > hi)                     index[k] = aux[i++];
            else if (less(a[aux[j]], a[aux[i]])) index[k] = aux[j++];
            else                                 index[k] = aux[i++];
        }
    }

    // return a permutation that gives the elements in a[] in ascending order
    // do not change the original array a[]
    public static int[] indexSort(Comparable[] a) {
        int N = a.length;
        int[] index = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++)
            index[i] = i;

        int[] aux = new int[N];
        sort(a, index, aux, 0, N-1);
        return index;
    }

    // mergesort a[lo..hi] using auxiliary array aux[lo..hi]
    private static void sort(Comparable[] a, int[] index, int[] aux, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo) return;
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        sort(a, index, aux, lo, mid);
        sort(a, index, aux, mid + 1, hi);
        merge(a, index, aux, lo, mid, hi);
    }

    // print array to standard output
    private static void show(Comparable[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            StdOut.println(a[i]);
        }
    }

    // Read strings from standard input, sort them, and print.
    public static void main(String[] args) {
        String[] a = StdIn.readStrings();
        Merge.sort(a);
        show(a);
    }
}

此方法中，是把数组a分成了前半部分和后半部分。书中并没有特别强调，在进行归并算法前，前后两部分其实已经分别进行了排序，但事实上，他们是已经排序好的。

此算法的精妙之处在于，通过一个aux数组保存数组a中的数据。所以说，此方法其实对内存多占用了N个空间。

private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, aux, lo, mid);
sort(a, aux, mid + 1, hi);
merge(a, aux, lo, mid, hi);
}

我之前一直对上边的程序，耿耿于怀，不知道怎么迭代处理了，后来终于搞清楚了。

例如：lo=0,hi=15，

sort（a,aux,0,15）

  sort（a,aux,0,7）,

　　sort（a,aux,0,3）,

　　  sort（a,aux,0,1），

　　　　sort（a,aux,0,0），

　　　　  return

　　　　sort（a,aux,1,1），

              merge（a,aux,1,1）

　　　　merge(a,aux,0,1),  

        sort（a,aux,2,3），

　　　　sort(a,aux,2,2)

           merge(a,aux,2,2,3)

         merge(a,aux,0,1,3)

      sort（a,aux,4,7），

　　   sort（a,aux,4,5），

　          merge(a,aux,4,4,5)

       sort（a,aux,6,7），

             merge(a,aux,6,6,7)

          merge(a,aux,4,4,7)

       merge(a,aux,0,3,7)

2：bottom-up mergesort 自底向上的归并排序

递归实现的归并排序是算法设计中分治思想的典型应用。我们将一个大问题分割成一个小问题分别解决，然后用所有的小问题的答案来解决整个大问题。

/*************************************************************************
 *  Compilation:  javac MergeBU.java
 *  Execution:    java MergeBU < input.txt
 *  Dependencies: StdOut.java StdIn.java
 *  Data files:   http://algs4.cs.princeton.edu/22merge/tiny.txt
 *                http://algs4.cs.princeton.edu/22merge/words3.txt
 *   
 *  Sorts a sequence of strings from standard input using
 *  bottom-up mergesort.
 *   
 *  % more tiny.txt
 *  S O R T E X A M P L E
 *
 *  % java MergeBU < tiny.txt
 *  S O R T E X A M P L E A               [ one string per line ]
 *    
 *  % more words3.txt
 *  bed bug dad yes zoo ... all bad yet
 *  
 *  % java MergeBU < words3.txt
 *  all bad bed bug dad ... yes yet zoo    [ one string per line ]
 *
 *************************************************************************/

public class MergeBU {



    // stably merge a[lo..m] with a[m+1..hi] using aux[lo..hi]
    private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int m, int hi) {

        // copy to aux[]
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            aux[k] = a[k]; 
        }

        // merge back to a[]
        int i = lo, j = m+1;
        for (int k = lo; k <= hi; k++) {
            if      (i > m)                a[k] = aux[j++];
            else if (j > hi)               a[k] = aux[i++];
            else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];
            else                           a[k] = aux[i++];
        }

    }

    // bottom-up mergesort
    public static void sort(Comparable[] a) {
        int N = a.length;
        Comparable[] aux = new Comparable[N];
        for (int n = 1; n < N; n = n+n) {
            for (int i = 0; i < N-n; i += n+n) {
                int lo = i;
                int m  = i+n-1;
                int hi = Math.min(i+n+n-1, N-1);
                merge(a, aux, lo, m, hi);
            }
        }
        assert isSorted(a);
    }

  /***********************************************************************
    *  Helper sorting functions
    ***********************************************************************/
    
    // is v < w ?
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return (v.compareTo(w) < 0);
    }

   // exchange a[i] and a[j]
    private static void exch(Object[] a, int i, int j) {
        Object swap = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = swap;
    }


   /***********************************************************************
    *  Check if array is sorted - useful for debugging
    ***********************************************************************/
    private static boolean isSorted(Comparable[] a) {
        for (int i = 1; i < a.length; i++)
            if (less(a[i], a[i-1])) return false;
        return true;
    }

    // print array to standard output
    private static void show(Comparable[] a) {
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            StdOut.println(a[i]);
        }
    }

    // Read strings from standard input, sort them, and print.
    public static void main(String[] args) {
        String[] a = StdIn.readStrings();
        MergeBU.sort(a);
        show(a);
    }
}

    自底向上的归并排序比较适合用链表组织的数据。想象一下将链表先按大小为1的子链表进行排序，然后使大小为2的子链表，然后使大小为4的子链表等。这种方法只需要重新组织链表链接就能将链表原地排序（不需要创建任何新的链表结点）。

 3：sorting complexity 排序的复杂度

作者在视频中提出：计算的复杂度，要从五个方面考虑。

分别为：

1：model of computation:计算模型

2：cost model：时间模型

3：upper bound：上限

4：lower bound：下限

5：optimal algorithm：最佳算法