在环中（Going in Cycle!!, UVa 11090）

【题目描述】

给定一个 n 个点 m 条边的加权有向图，求平均权值最小的回路。

【输入格式】

输入第一行为数据组数 T 。每组数据第一行为图的点数 n 和边数 m (n ≤ 50)。以下 m 行每行3个整数 u, v, w, 表示有一条从 u 到 v 的有向边，权值为 w。输入没有自环。

【输出格式】

对于每组数据，输出平均最小值，并保留2位小数。如果误解，输出 "No cycle found."。

这道题吧，我觉得使用二分法求解不错。首先才一个值 mid，只需要判断是否存在平均值小于 mid 的回路。那么如何判断呢？假设存在一个包含 k 条边的回路，回路上各条边的权值为 w₁, w₂, w₃......（k 个），那么平均值小于 mid 意味着 w₁ + w₂ + w₃ +...... (k 个)< k * mid，即：

　　　　　　　　(w₁ - mid) + (w₂ - mid) + (w₃ - mid) + ......(k 组) < 0

这么看来，只要把每条边 (a, b) 的权 w(a, b) 变成 w(a, b) - mid，在判断图中是否有负全回路（负圈）即可。至于如何盘负圈，用 spfa 搜一遍图，若一个结点入队 n 次，那么就一定存在负圈。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn = 55;
const int maxx = 1e6 + 1;
const double INF = 1e300;    //double型一个很大的数 
vector<int>v[maxn];
vector<double>c[maxn];
int cnt[maxn], vis[maxn];    //cnt[]入队次数 
double dis[maxn];
int n, m;
void init()
{
    for(int i = 0; i < maxn; ++i)
    {
        v[i].clear(); c[i].clear();
    }
}
bool spfa(double x)
{
    for(int i = 0; i < maxn; ++i) {    cnt[i] = vis[i] = 0; dis[i] = INF;}
    queue<int>q;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        q.push(i); cnt[i]++; dis[i] = 0;
    }
    
    while(!q.empty())
    {
        int now = q.front(); q.pop();
        vis[now] = 0; 
        for(int i = 0; i < v[now].size(); ++i)
        {                
            if(dis[now] + c[now][i] - x < dis[v[now][i]])    //别忘减去 x！！ 
            {
                dis[v[now][i]] = dis[now] + c[now][i] - x;
                if(!vis[v[now][i]])
                {
                    q.push(v[now][i]); vis[v[now][i]] = 1; cnt[v[now][i]]++;

                    if(cnt[v[now][i]] > n) return true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    int T; scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; ++kase)
    {
        init();
        printf("Case #%d: ", kase);
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            int a, b, cost; scanf("%d%d%d", &a, &b, &cost);
            v[a].push_back(b); 
            c[a].push_back(cost); 
        }
        if(!spfa(maxx)) printf("No cycle found.
");    //不存在负圈 
        else
        {
            double L = 0, R = maxx;        //二分法求值 
            while(R - L > 1e-3)        
            /*因为保留两位小数，所以只用让 L和 R相差小于0.01即可，这里选择0.001
            注意：不能写 R == L，因为存在浮点误差，两个double型实数不能相等）*/  
            {
                double mid = (L + R) / 2;
                if(spfa(mid)) R = mid; 
                else L = mid;
            }
            printf("%.2lf
", L);
        }
    }
}