骑士共存问题

嘟嘟嘟

 

这是一道比较经典的最小割模型，对只会最大流却对最小割一窍不通的我来说在适合不过了。

首先，题目中的图片非常良心，细心观察他能得到一个很重要的规律：黄色格子上的骑士只能攻击红色格子上的骑士，反之同理。

因此，我们可以把棋盘进行黑白染色，然后白点放在图的左侧，黑点在图的右侧，有点像二分图的感觉。

接下来切入正题了：做最小割的题，源点和汇点往往没有什么实际意义，重点是割掉每一条边的意义。每一条边代表一个冲突，割掉它就是付出的代价。由此可见，最小割一般是反着想，比如源点和汇点不连通了，代表所有冲突解决了。

具体连边是这样的：

1.源点像白点连一条边权为1的边，代表如果割掉这条边，就是拿走了这个棋子，代价就是1.

2.同理黑点向汇点连一条边权为1的边。

3.考虑一个白点能攻击到的所有黑点，就像这些黑点连一条INF的边。为什么是INF呢？因为这条边的意义代表两个骑士会互相攻击，不能共存，割掉它代表两个骑士能共存了，这显然是不可能的，一次付出的代价是INF。

4.图中还有障碍点。表示骑士一定不能放到这个点，因此一定会付出1的代价，而不用考虑他是否会割掉，因此不用把他连边建图。

 所以最终的答案就是n² - minCut - m.

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 4e4 + 5;
inline ll read()
{
    ll ans = 0;
    char ch = getchar(), last = ' ';
    while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) {ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    if(last == '-') ans = -ans;
    return ans;
}
inline void write(ll x)
{
    if(x < 0) x = -x, putchar('-');
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

const int dx[10] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}, dy[10] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
int n, m, t;
bool vis[maxn];

struct Edge
{
    int from, to, cap, flow;
};
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];
void addEdge(int from, int to, int w)
{
    edges.push_back((Edge){from, to, w, 0});
    edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});
    int sz = edges.size();
    G[from].push_back(sz - 2);
    G[to].push_back(sz - 1);
}

int getnum(int x, int y)
{
    return (x - 1) * n + y;
}

void solve(int x, int y)
{
    int u = getnum(x, y);
    for(int i = 0; i < 8; ++i)
    {
        int newx = x + dx[i], newy = y + dy[i];
        if(newx > 0 && newx <= n && newy > 0 && newy <= n) 
            addEdge(u, getnum(newx, newy), INF);
    }
}

int dis[maxn];
bool bfs()
{
    Mem(dis, 0); dis[0] = 1;
    queue<int> q; q.push(0);
    while(!q.empty())
    {
        int now = q.front(); q.pop();
        for(int i = 0; i < (int)G[now].size(); ++i)
        {
            Edge& e = edges[G[now][i]];
            if(!dis[e.to] && e.cap > e.flow)
            {
                dis[e.to] = dis[now] + 1;
                q.push(e.to);    
            }
        }
    }
    return dis[t];
}
int cur[maxn];
int dfs(int now, int res)
{
    if(now == t || res == 0) return res;
    int flow = 0, f;
    for(int& i = cur[now]; i < (int)G[now].size(); ++i)
    {
        Edge& e = edges[G[now][i]];
        if(dis[e.to] == dis[now] + 1 && (f = dfs(e.to, min(res, e.cap - e.flow))) > 0)
        {
            e.flow += f;
            edges[G[now][i] ^ 1].flow -= f;
            flow += f; res -= f;
            if(res == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}

int minCut()
{
    int flow = 0;
    while(bfs())
    {
        Mem(cur, 0);
        flow += dfs(0, INF);
    }
    return flow;
}

int main()
{
    n = read(); m = read();
    t = n * n + 1;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        int x = read(), y = read();
        vis[getnum(x, y)] = 1;
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j) if(!vis[getnum(i, j)])
        {
            if((i + j) & 1) addEdge(getnum(i, j), t, 1);
            else addEdge(0, getnum(i, j), 1), solve(i, j);
        }
    write(n * n - m - minCut()); enter;    
    return 0;
}