其实就是怕忘了……这里发一下线性求逆元以及阶乘的逆元的板子。
线性求逆元
逆元是啥我就不说了，但是线性递推式怎么来的我还是可以证明一下的。
求 i 的逆元，假设[1, i - 1]的逆元已知。
设 p = k * i + b，则 b = p % i, k = ⌊p / i⌋ 。
则k * i + b Ξ 0 (mod p)，所以b Ξ - k * i。
两边同乘inv[b]得：inv[b] * b Ξ - k * i * inv[b] (mod p)
化简得： - k * i * inv[b] Ξ 1 (mod p)
两边同乘inv[i]得：inv[i] Ξ - k *inv[b] (mod p)
inv[i] Ξ (p - k) * inv[b]
inv[i] Ξ (p - ⌊p / i⌋) * inv[p % i]
所以 inv[i] = (p - ⌊p / i⌋) * inv[p %i] % p
装模作样来个代码。
1 inv[1] = 1; 2 for(int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
线性求阶乘的逆元
其实就是根据inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p倒着递推而来。
先用费马小定理求出inv[n]的逆元，然后倒着递推。
1 ll quickpow(ll a, ll b) 2 { 3 a %= mod; 4 ll ret = 1; 5 for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod) 6 if(b & 1) ret = ret * a % mod; 7 return ret; 8 } 9 ll fac[maxn], inv[maxn]; 10 void init(int n) 11 { 12 fac[1] = 1; 13 for(int i = 2; i <= n; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod; 14 inv[n] = quickpow(fac[n], mod - 2); 15 for(int i = n - 1; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod; 16 }