[NOIP2008]传纸条

嘟嘟嘟

一道人人皆知的dp基础题。我听人讲了无数遍，就是没写。

问题可以转化为找到两条从(1, 1)到(n, m)不相交的路径，使路径上的好感度之和最大。

这道题的关键在于dp的顺序，观察会发现，只要保持这两条路径枚举到同一条对角线上，顺序就对了。于是令dp[k][i][j]表示到第k条对角线，靠右的点的纵坐标为 i ，靠左点的纵坐标为 j 时的答案。每一个点有两种转移方式，所以一共有四种转移方式。枚举即可。

最后的状态应该是dp[n + m - 1][n - 1][n]，而不是dp[n + m][n][n]，因为要保证两条路径不相交，那么dp[n + m][n][n]显然是一个不合法状态，所以答案是这个状态的上一个状态。

另外可以倒着枚举优化掉第一维，但对于这一题来说没有必要。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 55;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m, a[maxn][maxn];
ll dp[maxn << 1][maxn][maxn];

int main()
{
  n = read(); m = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    for(int j = 1; j <= m; ++j) a[i][j] = read();
  for(int k = 3; k < n + m; ++k)
    for(int i = 1; i < k - 1; ++i)
      for(int j = i + 1; j < k; ++j)
    {
      ll tp = 0;
      tp = max(tp, dp[k - 1][i][j]);
      tp = max(tp, dp[k - 1][i - 1][j]);
      if(j - 1 != i) tp = max(tp, dp[k - 1][i][j - 1]);
      tp = max(tp, dp[k - 1][i - 1][j - 1]);
      dp[k][i][j] = tp + a[i][k - i] + a[j][k - j];
    }
  write(dp[n + m - 1][n - 1][n]), enter;
  return 0;
}