Introduction
在计算机视觉及机器学习领域，数据的可视化是非常重要的一个应用，一般我们处理的数据都是成百上千维的，但是我们知道，目前我们可以感知的数据维度最多只有三维，超出三维的数据是没有办法直接显示出来的，所以需要做降维的处理，数据的降维，简单来说就是将高维度的数据映射到较低的维度，如果要能达到数据可视化的目的，就要将数据映射到二维或者三维空间。数据的降维是一种无监督的学习过程，我们可以看成是一种聚类。数据在空间的分布主要有两个特性，一个是相似性，我们可以用类内距离衡量；一个是差异性，可以用类间距离衡量。降维算法，在将数据从高维空间映射到低维空间的时候，需要考虑数据的这两个分布特性，也就是要保持数据在高维空间的分布特性。
降维的算法有很多，最经典的就是PCA了，也就是我们常说的主分量分析，PCA是基于数据集的协方差矩阵，考虑的更多是数据的差异性，而对于数据的相似性，或者说数据的局部分布，类似PCA的线性降维算法是无能为力的。
今天，我们介绍一种非常高效的非线性降维算法: t-SNE，t-SNE 算法可以非常有效地把高维的数据映射到低维的空间，并且保持数据在高维空间的局部结构。t-SNE 算法是 SNE 算法的一个延伸，SNE 即 Stochastic Neighbor Embedding 的简称，SNE 算法利用了每一个数据点的邻近数据点的分布来做降维。在介绍 t-SNE 之前，我们先来看看 SNE 算法。
Stochastic Neighbor Embedding
给定一个高维的数据集 �={x1,x2,...xn}, 我们需要将这个高维的数据集映射到一个低维的数据集 �={y1,y2,...yn}，为了数据便于显示，� 的维度一般是二维或者三维。为了衡量高维数据的相似性，SNE算法设置了一个条件概率：
pj|i=exp(−∥xi−xj∥2/(2σ2i))∑k≠iexp(−∥xi−xk∥2/(2σ2i))
pj|i 衡量的是数据点 j 作为数据点 i 的邻域的概率，这个分布类似一个高斯分布，很显然，离xi 越近的点，pj|i 的值越大，而离得越远的点，那么概率就会越小，利用这个条件概率来表示每一对数据点的相似性，因为我们考虑的是数据点与数据点之间的关系，不考虑数据点自身与自身的关系，所以 pi|i=0，σi 是方差，后面会介绍如何设置这个方差。
接下来，我们要考虑映射后的低维空间 � 的数据分布，同样可以用条件概率来表示:
qj|i=exp(−∥yi−yj∥2)∑k≠iexp(−∥yi−yk∥2)
这里将方差设置为12√，所以高斯函数的分母变为1，如果空间 � 的数据分布可以很好地拟合数据在空间 � 的分布，那么两者的条件概率应该是一样的，即 pj|i 和 qj|i 是相等的，基于这一点，SNE算法就是想找到这样一个低维空间�，使得数据集在两个空间的条件概率尽可能接近，可以用 Kullback-Leibler divergence 来衡量：
C=∑iKL(Pi∥Qi)=∑i∑jpj|ilogpj|iqj|i
Pi 表示数据集� 中所有其他数据点相对xi 的条件概率，Qi 表示数据集� 中所有其他数据点相对yi 的条件概率。从上面的表达式可以看出，SNE算法侧重于保持数据的局部结构。为了设置 σi，可以定义一个 perplexity:
Perp(Pi)=2H(Pi)
H(Pi) 就是我们所说的信息熵
H(Pi)=−∑jpj|ilog2pj|i
利用梯度下降算法，我们可以得到如下的表达式:
∂C∂yi=2∑j(pj|i−qj|i+pi|j−qi|j)(yi−yj)
为了加速收敛以及增加鲁棒性，可以引入 momentum term
�(t)=�(t−1)+η∂C∂�+α(t)(�(t−1)−�(t−2))