机器学习 线性回归

Supervised Learning

首先给出一些基本定义，x(i) 表示输入变量或者输入特征，y(i) 表示输出变量或者目标值。(x(i),y(i) 称为一对样本，一组样本 {(x(i),y(i));i=1,2,...,m} 称为训练集，其中X 表示输入变量的值域，Y 表示输出变量的值域，一般来说，我们都只考虑实数域。

The goal of supervised learning can be described as follows: given a training set, to learn a function h:X→Y so that h(x) can predict the output value as close as the corresponding value of y. The function h is called hypothesis.

基于目标值的形式不同，Supervised Learning 主要分成两大类.

Regression Problem（回归问题）: 输出变量是连续值.
Classification Problem（分类问题）: 输出变量是离散值.

线性回归

我们先考虑一个简单的线性回归问题，我们假设输入变量 x 是一个在二维空间R2的向量， 我们有以下的表达式：

hθ(x)=θ0+θ1x1+θ2x2

θi 是 参数 (有时称为权值)，这些参数可以将输入域 X 线性映射到输出域 Y. 我们引入截距的概念， 令 x0=1, 上述表达式可以改写成：

hθ(x)=∑i=0nθixi=θTx

现在，给出一组有 m 个样本的训练集，我们希望找到合适的参数 θ， 使得预测值 hθ(x) 与目标值尽可能接近。为了估计参数 θ， 我们定义如下的 cost function:

J(θ)=12∑i=1m(hθ(xi)−yi)2

这个函数与最小均方误差函数很像，接下来，我们讨论如何求解参数 θ。

LMS Algorithm

为了求得最优的参数 θ 使得函数的均方误差最小，我们可以采用梯度下降算法进行求解，参数 θ 的更新可以
表示成如下：

θj:=θj−α∂∂θjJ(θ)

其中，α 称为 Learning rate. 我们先给出函数的偏导数，为了简便起见，先考虑只有一对样本的情况 (x,y).

∂∂θjJ(θ)=∂∂θj12(hθ(x)−y)2=2⋅12⋅(hθ(x)−y)⋅∂∂θj(hθ(x)−y)=(hθ(x)−y)⋅∂∂θj(∑i=0nθixi−y)=(hθ(x)−y)xj

进而，我们可以得到只有一对样本时的更新准则：

θj:=θj+α(yi−hθ(xi))xij

这就是有名的LMS更新原则，也叫Widrow-Hoff学习准则，参数 θ 更新的幅度取决于误差项的大小。从一对样本的情况，我们推导出参数θ 如何更新使得函数可以收敛。事实上，对于含有多个训练样本的情况，有两个方法可以对参数θ 进行更新，一个是 batch model， 另外一个是 stochastic model。

batch model的更新原则是每一次更新要遍历所有的样本，如下所示：

Repeat until convergence{θj:=θj−α∑i=1m(yi−hθ(xi))xijfor every j}

而stochastic model每遇到一个样本就会进行一次更新，如下所示：

Loop{for i=1 to m,{θj:=θj−α(yi−hθ(xi))xijfor every j}}

从上面两种方式可以看出，batch model 每做一次更新要遍历所有的样本，这是非常耗时的，特别是在样本数非常多的时候，而stochastic model 是即时更新，每遇到一个样本就更新一次，通常情况下，stochastic model会下降地比batch model 快，不过stochastic model的一个缺陷是有可能无法收敛到全局最小值，而是在最小值附近来回扰动，这大概也是称之为stochastic model的原因，最终收敛的值带有一定的随机性，然而虽然只是收敛到全局最小值附近，很多时候这种近似已经非常靠近全局最小值，而且stochastic model的效率要更高，所以stochastic model一般会作为优先考虑的方法。

更通常的一种做法是结合两种方式，将整个训练集分割成很多个小的batch，然后利用stochastic model进行更新，每遇到一个小的batch，进行一次更新，这样做利用了stochastic model的高效，也在一定程度上减轻了在全局最小值附近的扰动。

参考文献

Andrew Ng, “Machine Learning”, Stanford University.