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  • 【证明】【一题多解】布尔不等式(union bound)的证明

    布尔不等式(Boole’s inequality)也叫(union bound),即并集的上界,描述的是至少一个事件发生的概率(P(iAi))不大于单独事件(事件之间未必独立)发生的概率之和(iP(Ai))。

    即:

    P(iAi)iP(Ai)

    展开即为:

    P(A1A2)P(A1)+P(A2)+

    1. 数学归纳法证明

    • n=1 时,显然 P(A1)P(A1)
    • 对于 n,如果有:P(i=1nAi)i=1nP(Ai),则由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) 可知:

      P(i=1n+1Ai)=P({i=1nAi}An+1)=P(i=1nAi)+P(An+1)P({i=1nAi}An+1)P(i=1nAi)+P(An+1)

    2. 将事件转换为独立事件(不相交事件)

    假设有A1,A2,A3 三个事件,则:

    • B1=A1,B2=A2A1B1B2 不相交
    • B2=A2A1 B3=A3A2A1B2B3 不相交

    Bi=Ai(k=1i1Ai),则有 B1,B2,, 互不相交,且 A1A2=B1B2,自然 BiAi ==> P(Bi)P(Ai)

    P(A1A2)=P(B1B2)=P(B1)+P(B2)+P(A1)+P(A2)+

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9420929.html
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