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  • Toeplitz matrix 与 Circulant matrix

    之所以专门定义两个新的概念,在于它们特殊的形式,带来的特别的形式。

    1. Toeplitz matrix

    • 对角为常数;

    n×n 的矩阵 A 是 Toepliz 矩阵当且仅当,对于 Ai,j 有:

    Ai,j=Ai+1,j+1=aij

    afghibafghcbafgdcbafedcba
    .

    ij 表示行号减去列号,对于 n×n 的 Toeplize 矩阵共 2n1 个不同的值,即 a1n,a2n,,a1,0,a1,,an1

    a0a1a2an1a1a0a1a2a1a1a2a1a0a1a(n1)a2a1a0

    2. Toeplize 矩阵与卷积和傅里叶变换到关系

    长度为 n 的信号 x,与长度为 m 的卷积核 h,二者之间的卷积可通过矩阵乘法的方式计算:

    y=hx=h1h2h3hm1hm0000h1h2h3hm1hm00000h1h2hm2hm1hm000h1h2hm2hm1hmx1x2x3xn

    同样地根据卷积的性质,也有:

    yT=[h1h2h3hm1hm]x10000x2x10x3x2x100x3x200xnx3x100xnx100xnxn2000xn1xn2xnxn10000xn.

    • 由左边的 Toeplize 矩阵可知,Toeplize 矩阵不必是方阵;下面来看该矩阵的维度信息,如下图所示:


      这里写图片描述

      上面在 wikipedia 中复制过来的矩阵信息其实是当 n<m 时的情形,且 n=m1

    3. Circulant matrix

    是一种特殊的 Toeplitz 矩阵。

    如下为一个 Circulant matrix 的基本形式:

    C=c0c1cn2cn1cn1c0c1cn2cn1c0c2c1c1c2cn1c0.

    在 Toeplize 的基础上,Circulant 进一步的要求是每一个行向量,是前一个行向量的循环右移一个元素。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9421440.html
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