从张量积（tensor product）到多重线性代数（multilinear algebra）

记张量积的数学记号为 ⊗。

1. linear

假设 V,W 为线性空间（vector spaces），f:V→W是线性（linear）的，如果满足：

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(αv)=αf(v)

• f 表示的是两个线性空间的映射，从线性空间 V 到线性空间 W；

2. bilinear

有三个线性空间，U,V,W，f:U×V→W是双线性的（bilinear），如果：

f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v)f(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2)f(αu,v)=αf(u,v)=f(u,αv)

• 当 v 固定，f(u,v) 在 u 中是线性的；
  
  • f(u,v)=fv(u)=fv(u1+u2)=fv(u1)+fv(u2)
  • f(αu,v)=fv(αu)=αfv(u)
• 当 u 固定时，f(u,v) 在 v 是线性的；

3. U⊗V

{bilinearU×V→W}≃Hom(U⊗V,W)

• U⊗V 仍然是线性空间（是一个新的线性空间），才能使双线性映射（bilinear maps） U×V→W 是 U⊗V→W上的线性映射（linear map）。
  
  • 既然 U⊗V 是一个新的线性空间，不仿记为 X
  • 此时 U⊗V→W 可被重新描述为 X→W

4. 张量的相关计算

U⊗V 该线性空间中的元素：{u⊗v|u∈U,v∈V}

因为 U⊗V 仍然构成线性空间（f(u,v):U⊗V），所以有：

f(u1+u2,v)=f(u1,v)+f(u2,v)⇒(u1+u2)⊗v=u1⊗v+u2⊗vf(u,v1+v2)=f(u,v1)+f(u,v2)⇒u⊗(v1+v2)=u⊗v1+u⊗v2f(αu,v)=αf(u,v)=f(u,αv)⇒(αu)⊗v=α(u⊗v)=u⊗(αv)

5. 一个实例

定义二维线性空间：R2=⟨e1,e2⟩，则 R2⊗R2的标准基由下述构成：

e1⊗e1,e1⊗e2,e2⊗e1,e2⊗e2