Gamma 函数及其应用

1. Γ(⋅) 函数定义

Γ(α)=∫∞0tα−1e−tdt

可知以下基本性质：

• Γ(α+1)=αΓ(α)（分部积分法）
  
  • Γ(1)=1 ⇒ Γ(n+1)=n!
• Γ(12)=π√

2. 常见变形

对于 a>0,p>0：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫∞0xp−1e−axdx=a−pΓ(p)∫∞0x−p−1e−ax−1dx=a−pΓ(p)∫∞0xp−1e−ax2dx=12a−p2Γ(p2)

对其进行简单证明，∫∞0xp−1e−axdx=a−1a−(p−1)∫∞0(ax)p−1e−axdax