矩阵分析相关证明（一） —— 正交与投影

αuu 其中 α∈R 为标量，uu∈Rn 的单位向量，则可知 αuu 定义了由点构成的线的集合，通过变化 α 的值，令 yy=αuu，现给定任一向量 xx∈Rn，考虑其在 yy 上的最近的点，也即投影点（projection）。

也即最小化如下函数：

∥xx−yy∥2=xTx−2αxTu+α2

求其关于 α 的导数，则有：

−2xTu+2α=0⇒α=xTu

α=xTu 是 x 与该方向上的单位向量的内积，此时，y=xTuu（注意是一个向量）

当然我们也可通过，投影正交的角度进行理解：

y⊥(x−y)⇒yT(x−y)=0⇒α=xTu