zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 多元函数(multivariate function)分析(方向导数和梯度)

    • 二阶泰勒展开:

      f(x)=f(0)+fTx+12xTf′′x+o()

      对等式右端求导,并置 0,得 x=f′′1f

    1. 方向导数与梯度

    设有单位向量 h=(h1,h2,,hn)Rn(当然不要求 hi 之间必须相等),它表示 n 维空间中的一个方向(长度是单位 1),可微(多元)函数 f(x) 在点 x 沿 h 方向的方向导数(directional derivative,沿着某方向的导数)定义为:

    f(x)h=limα0+f(x+αh)f(x)α

    f(x+αh) 执行(在 x 处)泰勒展开:

    f(x+αh)=f(x)+f(x)T(αh)+o(αh)

    因此方向导数定义式进一步可化为:

    f(x)h===f(x)T(αh)+o(αh)αf(x)Thf(x)cos(f(x),h)

    所以其沿任意方向的导数为:hTf

    • 大于 0,为上升方向(f(x+αh)f(x)>0);
    • 小于 0,则为下降方向(f(x+αh)f(x)<0);
    • cos(f(x),h)=1(夹角为 0°,h=f) 时,fh 取的最大值,为 fh=f 为最速上升方向;
    • cos(f(x),h)=1(夹角为 180°,h=f) 时,fh 取得最小值,为 fh=f 为最速下降方向;

    2. 几种特殊类型的函数,求梯度

    自然是对自变量 x 求偏导;求梯度得到的是一个列向量;

    • bTx=ibixi,则 bTx=b

    • xTx=ix2i,则 xTx=2x

    • xTAxAT=A),则 xTAx=2Ax

  • 相关阅读:
    Android 禁止软键盘自动弹出
    Android之Adapter用法总结
    如何成为android高手
    最强大的文案策略
    外贸电商的ERP有很多
    ERP行业销售如何挖掘潜在客户?
    新制造
    C#实现字符串相似度算法
    cmd
    对于大型公司项目平台选择j2ee的几层认识
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9422849.html
Copyright © 2011-2022 走看看