随机化算法（二）

随机化算法

1. 随机化快排

将数组元素划分为 3 个子数组：

• A：包含比枢轴元素小的元素；
• B：包含与枢轴元素相等的元素；
• C：包含比枢轴元素大的元素；

定理1 设数组含 n 个不同元素，随机快速排序算法的期望比较次数：

T(n)≤2nlnn

也即 T(n)=O(nlnn)（与确定型快排相一致）

首先来考验算法执行的流程，1. 选定枢轴（pivot）元素，2. 其余 n-1 个元素都要与其比较，以决定在子数组 ABC 的归属；

T(n)=n−1+1n∑i=0n−1(T(i)+T(n−i−1))

等式的左端是函数，等式的右端仍然出现该函数，显然是递归调用。

又易知，∑i=0n−1(T(i)+T(n−i−1))=2∑iT(i)；

T(n)=n−1+2n∑i=0n−1T(i)

此时利用数学归纳法：

T(n)=≤≤≤n−1+2n∑i=0n−1T(i)n−1+2n∑i2ilni（使用积分作为其上界）n−1+2n∫n12xlnxdxn−1+2n(n2lnn−n22+12)≤2nlnn