适度平衡树

适度平衡树，是指将树高限制为“渐进地不超过 O(logn)”。

举例：

• AVL 树：兄弟节点的高度之差不超过 1（≤1）
• 伸展树；
• 红黑树；
• kd-树；

当然这些都可以归入平衡二叉搜索树（BBST，Balanced Binary Search Tree）之列。

1. 旋转调整

最基本的修复手段（使适度平衡），就是将围绕特定点的旋转，实现（中序遍历）等价前提下的拓扑调整。

• zig 和 zag

zig 和 zag 旋转均属局部操作，仅涉及常数个节点及其之间的连接关系，故均可在常数时间内完成。正因如此，在此后的众多实现二叉搜索树平衡化算法时，它们都是支撑性的基本操作。

就与树相关的指标而言，经一次 zig 或 zag 旋转之后：

• 节点 v 的深度加 1；
• 节点 c 的深度减 1；

这一局部子树（乃至全树）的高度可能发生变化，但上下幅度均不超过 1 层；

2. AVL 树

通过合理设定适度平衡的标准，并借助以上等价变换，AVL 树（AVL tree）可以实现近乎理想的平衡。在渐进意义下，AVL 树可始终将其高度控制在 O(logn) 以内，从而保证每次查找、插入或删除操作，均可在 O(logn)。

从平衡因子（balance factor）的角度来看 AVL 树。任一节点 v 的平衡因子定义为“其左、右子树的高度差”（显然可以为负）。

因此，从平衡因子的角度说，AVL 树是平衡因子受限（|bf|≤1⇒ bf = -1, 0, 1）的二叉搜索树（BST）⇒ AVL 继承自 BST。