下确界和上确界

• 下确界：infimum，简写为 inf（注意和 infinity（无穷）的区别），最大下界，floor：地板的顶；
• 上确界：supremum，最小上界，ceiling：天花板的底；

0. （集合）最大数最小数

• 集合 B={x∣∣0≤x<1} 中没有最大值。

  采用反证法的形式进行证明，设 β 为该集合的最大值，令 β′=1+β2（构造性证明），显然 β′∈B，且 β′>β，这与 β 是集合 B 的最大值相矛盾。

1. 举例体会

• 上确界与最大值的区别

  x∈R,x<2 ⇒ 2 是集合 x 的上确界，但 x 却不存在一个确定的最大值；

2. 上下界与上下确界

• 设非空集合 E∈R，如果有实数 L 使得 x≤L，∀x∈E（即 E 中所有元素均小于等于 x），则称 L 为 E 的一个上界。如果有实数 ℓ 使得 x≥ℓ，∀x∈E，则称 ℓ 为 E 的一个下界；
• 对于非空集合 E 属于 R，其最小上界称为 E 的上确界，以 supE 表示；最大下界称为 E 的下确界，以 infE 表示。
• 确界是建立在最大最小数的基础上定义的；
  
  • 上确界，上界集合的最小数；
  • 下确界，下界集合的最大数；

上确界，上界集合存在的最小数。上界集合存在最小数需要证明，令其上确界为 β，则 β 需满足，

• 是上界：∀x∈S ⇒ x≤β
• 是上界集合的最小数，∀ϵ>0，所以 β−ϵ 不再是上界，因此 ∃x ⇒ x>β−ϵ
• 由以上进一步可知，x≤β<x+ϵ

确界存在定理，也叫实数系连续定理，非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界。

3. 性质

Let A,B⊆R and suppose the infima and suprema of these sets exist. Define λA={λx:x∈A}, A+B={x+y:x∈A, y∈B}, and AB={xy:x∈A, y∈B}.

• p=infA if and only if for every ϵ>0 there is an x∈A with x<p+ϵ, and x≥p for every x∈A.