从二叉树到完全二叉树

之所以会出现完全二叉树的概念，是因为可由此在物理上，以线性表的方式实现逻辑上的完全二叉树。

• 完全二叉树的叶子节点只能出现在最底部两层；

1. 完全二叉树

对于一棵高度为 h 的二叉树，如果其第 0 层至 h−1 层（倒数第二层）都是满的，也就是说，对所有 0≤i≤h−1，第 i 层有 2i 个结点，前 h−1 层的结点总数为 2h−1。如果最下一层的结点不满，则所有结点从最左边开始连续排列。这样的二叉树就是一棵完全二叉树。

2. 完全二叉树的性质

我自己得到的一些结论如下：

• 从 0 开始编号，编号为奇数的必定在左子节点，编号为偶数的必定在右子节点；
• 对某一个内部结点（internal node）而言，不可能出现有右子节点，而没有左子节点的情况；
• 完全二叉树与线性结构有自然的双向映射；
• n 个结点的完全二叉树的叶节点的范围是 n2∼n
  
  • 也即对完全二叉树而言，（后）一半是叶节点，（前）一半是内部结点（包括根节点）

• n 个结点的完全二叉树高度为 ⌊log2n⌋

  证，设完全二叉树 T 包含 n 个结点，高度是 h。则 n 与 h 的关系为：
  

  2h−1<n≤2h+1−1

  也即 2h≤n<2h+1，两边同时取对数得 h≤log2n<h+1。可见 h 为不大于 log2n 的最大整数；

• （完全二叉树）如果 n 个结点的完全二叉树的结点按层次并按从左到右的顺序从 0 开始编号，对任一节点 i（0≤i≤n−1）都有：

  • 序号为 0 的结点是根节点；
  • 对于 i>0，其父节点的编号为 i−12；
  • 对于 2×i+1<n，其左子节点序号为 2×i+1，否则无左子节点；
  • 对于 2×i+2<n，其左子节点序号为 2×i+2，否则无右子节点；

  证明如下，使用数学归纳法，

  • i⇒i−12 ⇒ i+1⇒i2

    • 证：当 i 为左节点时，i+1 为其父节点的右结点，也即 i+1 与 i 为同一父节点的兄弟节点，此时 i2 与 i−12 相等，因为要取整数
    • 当 i 为右结点时（i 为偶数）， 则 i+1 结点的父节点为 i−12+1，

  • i⇒2×i+1 ⇒ i+1⇒2×i+3

    同样，分 i 为左节点和右节点，进行证明，

    • 左节点时，i+1 为其兄弟节点，显然其左子节点为 2i+3
    • 右节点时，根据推算，i+1（与 2i+1、2i+2 在同一层） 结点的左子节点为 2i+3

• 完全二叉树的一个重要特性，如上证明，它可以十分方便地存入一个表或数组，直接根据元素下标（index）就能找到下标对应结点的子节点或父节点，无须以其他方式记录树的结构信息。

  • 如果第 i 层是满的，也即第 i 层有 2i 个结点；根的下标是 0，第 i 层元素从 2i−1 的位置开始存放，连续 2i 个元素都属于这一层；