等价、偏序和全序

• 全序集是任意两个元素都可以比较的偏序集。

  • 序的存在可对应一些特殊的物理意义，比如时间上的先后关系；

• 良序集（well order）是任意非空子集都有最小元的全序集。

1. 等价

设 R 是某个集合 A 上的一个二元关系。若 R 满足以下条件：

• 自反性：∀x∈A,  xRx
• 对称性：∀x,y∈A,  xRy  ⟹  yRx
• 传递性：∀x,y,z∈A,   (xRy  ∧  yRz)  ⟹  xRz

称 R 是一个定义在 A 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由 R 改写为 ∼。

例如，设 A={1,2,…,8}，定义A上的关系R如下：

xRy⟺∀x,y∈A, x≡y(mod3)

其中x≡y(mod3)叫做 x 与 y 模 3 同余，即 x 除以 3 的余数与 y 除以 3 的余数相等。例子有 1R4, 2R5, 3R6（R 在形式上不包含 3，但在实际含义上，却有对 3 取模的意思）。不难验证 R 为 A 上的等价关系（三个性质的验证）。

不是所有的二元关系也是等价关系。一个简单的反例子是比较两个数中哪个较大：

• 没有自反性：任何一个数不能比自身为较大 (n≯n)
• 没有对称性：如果 m>n，就肯定不能有 n>m

2. 偏序（partial order）

设 A 是一个非空集，P 是 A 上的一个关系，若关系P是自反的、反对称的、和传递的，则称P是集合A上的偏序关系。
即P适合下列条件：

• （1）对任意的a∈A,(a,a)∈P;
• （2）若（a,b)∈P且（b,a)∈P,则a=b;
• （3）若（a,b)∈P,(b,c)∈P,则（a,c)∈P,

则称 P 是 A 上的一个偏序关系。

带偏序关系的集合 A 称为偏序集或半序集。
若P是A上的一个偏序关系，我们用a≤b来表示（a,b)∈P。
举如下例子说明偏序关系：

• 1、实数集上的小于等于关系是一个偏序关系。
• 2、设 S 是集合，P（S）是 S 的所有子集构成的集合，定义 P（S）中两个元素 A≤B 当且仅当 A 是 B 的子集，即 A 包含于 B，则P（S）在这个关系下成为偏序集。
• 3、设 N 是正整数集，定义 m ≤ n 当且仅当m能整除n，不难验证这是一个偏序关系。注意它不同于N上的自然序关系。

偏序是在集合 P 上的二元关系（≤），它是自反的、反对称的、和传递的，就是说，对于所有 P 中的 a, b 和 c，有着:

• a ≤ a (自反性)；
• 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)；
• 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)。

3. 全序（total order）

在集合 A 中，如果对于任意 a∈A, b∈A, 有 aRb 或 bRa，即 A 中的每对元素（任意两个元素之间都存在关系，而偏序要求的仅是存在关系的两者之间需要满足的性质）都满足关系 R，则集合 A 上的偏序 R 是全序的或线性序的。

4. 举例

如下，两幅有向图：

边 <x,y> 表示 x≤y（从 x 指向 y），

• 左图表示偏序，v2 和 v3 不存在关系；
• 右图正是加上了一条 v2 指向 v3 的边，才成为正序；