递归的理解

对于递归问题，一定要明确的一点是，初始调用该函数时的输入是什么样的；

• 递归执行的顺序是从后往前（直到递归结束的条件发生），迭代是从前到后；
  
  • 递归：n!=n*(n-1)! ⇒ 0!=1
  • 迭代：n! ⇒ for i = 1:n: res *= i
• 递归能够奏效的前提是，问题的规模一定是减少的，或者更为严谨地说，问题一定是朝着递归结束的条件执行的；
• 递归函数的第一个要执行的就是（if）判断，也即每进入一次递归，都要首先判断是否到达递归的结束，n! ⇒ 0!
• 其次还要明晰递归函数的功能，是返回某个值，还是对传递进来的数据进行处理（没有返回值）。递归函数内部的第一条语句，也即 if 判断，要根据外部递归函数的返回情况做相应的配套处理；
• 递归终止时的判断条件，依据的就是递归进行时，传递进去的变化的参数。也即，是对随着递归的进行而发生变化（一般减少，减少到 0，方便做判断，终止条件一般在 0 处，n ⇒ 0）的变量，进行判断；
• 递归退出的条件，一般都是关于对参数的判断；

1. 递归的实现

• 需要传递参数，或者会对全局变量进行修改，总之，递归函数属于更易型函数，不然将会变成无穷循环；

• 进入函数的第一件事，就是判断，判断是否到达循环终止的条件；

• 然后是每次递归都要执行的主体部分（调用自己，并传递新的参数进去），此时可以假想为只是一次简单的执行过程，只不过有些值需要需要调用自己才能获得；

2. 递归 + 动态规划（rec + dp）

• 递归：需要一次 if 判断，用于判断是否到达递归的终止条件
• 动态规划：也需要一次 if 判断，用于判断是否是重复计算项（overlapping）
• 也即结合了递归和动态规划的算法实现，需要隐式地给出两次 if 判断；

如动态规划+递归实现的斐波那契：

def fib_rec_dp(n, memo):
    if n <= 0:
        memo[n] = n
        return memo[n]
    try:
        return memo[n]
    except KeyError:
        memo[n] = fib_rec_dp(n-1, memo) + fib_rec_dp(n-2, memo)
        return memo[n]

3. 递归实现的细节

分为多步进行，每一步的操纵一模一样，

• 是否到达终点；
• 执行必要的操做；

比如，

• 棋盘连线的问题，每一步都有四个前进的方向；
• n 城市的旅行商问题，同样可分为 n 个小操作；

4. 规模不同，逻辑一致

• 规模体现在函数的参数；
• 逻辑一致体现在自己调用自己，函数体一模一样；

此时便可使用递归；

比如一个二叉树，它的左子树和右子树，有分别是二叉树，只是规模小了一层，其他一模一样；

在实际运行时，再次调用自己，函数的参数一定发生变化。

• 比如通配符字符串匹配问题，w, s ⇒ w’, s’

5. 递归退出的条件

• 有返回值：if(….) return …;
• 无返回值：if(…) return;

都是在开始部分的 if() + return ...;退出递归；