第十一篇：监督学习中关于线性回归问题的系统讨论

前言

       本文将系统的介绍机器学习中监督学习的回归部分，系统的讲解如何利用回归理论知识来预测出一个分类的连续值。

       显然，与监督学习中的分类部分相比，它有很鲜明的特点：输出为连续值，而不仅仅是标称类型的分类结果。

基本线性回归解决方案 - 最小二乘法

       “给出一堆散点，求出其回归方程。" -> 对于这个问题，很多领域都碰到过，而其中最为经典普遍的做法通常是：

       1. 用式子表示出各个散点到回归线之间的距离之和：

      

       m 为散点数量，y_i 为散点值，x_i 为散点坐标，w 为回归系数向量。

       2. 对上式以向量 w 求导，求出导数值为 0 时的回归系数 (具体求导过程涉及到对向量求导的相关法则，略)：

      

       这种方法就叫做最小二乘法。

最小二乘法的具体实现

       下面这个小程序从文本中读取散点，然后拟合出回归直线，并使用 matplotlib 展示出来 (注: 为了清楚直观，特征 0 没展示出来)：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding:UTF-8 -*-

'''
Created on 20**-**-**

@author: fangmeng
'''

from numpy import *

def loadDataSet(fileName):
    '载入测试数据'
    
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('	')) - 1
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('	')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        dataMat.append(lineArr)
        labelMat.append(float(curLine[-1]))
    return dataMat,labelMat

#===================================
# 输入:
#        xArr: 特征坐标矩阵
#        yArr: 特征值矩阵
# 输出:
#        w: 回归系数向量
#===================================
def standRegres(xArr,yArr):
    '采用最小二乘法求拟合系数'
    
    xMat = mat(xArr); 
    yMat = mat(yArr).T
    xTx = xMat.T*xMat
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print "该矩阵无法求逆"
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

def test():
    '展示结果'
    
    # 采用最小二乘求出回归系数并预测出各特征点对应的特征值
    xArr, yArr = loadDataSet('/home/fangmeng/ex0.txt')
    ws = standRegres(xArr, yArr)
    xMat = mat(xArr)
    yMat = mat(yArr)
    yHat = xMat * ws
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    # 绘制所有样本点
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.T[:, 0].flatten().A[0])
    
    # 绘制回归线
    xCopy = xMat.copy()
    xCopy.sort(0)
    yHat = xCopy*ws
    ax.plot(xCopy[:, 1], yHat)
    plt.show()
    
if __name__ == '__main__':
    test()

       测试结果：

      

       观察预测与真实的相关系数：

print corrcoef(yHat.T, yMat)

       测试结果：

      

       0.98+的相关系数，可见拟合的效果还是不错的。

局部加权线性回归

      基本的线性回归经常会碰到一些问题。

      比如由于线性回归本身导致的欠拟合问题。以最基本的一个特征的情况为例，如果散点图本身呈现一个非线性化的轮廓，而强行的将它拟合成一条直线：

      

      显然，两端的拟合是非常不科学的，偏离的很远。

      针对这个问题，局部加权线性回归应运而生。它能够得到类似下图这样更为科学的拟合线段：

      

      所谓局部，就是最大程度考虑待预测点附近的点，所谓加权，就是离待预测点越近，其参考系数(权重)就越大。

      因此，在原先的最小二乘法中加入一个用于衡量权重的对角矩阵W。这样，回归系数的求解式就变为：

      

      权重矩阵W又称为 "核"，典型的高斯核的计算方法如下：

      

      下面是采用局部加权线性回归思想的回归系数求解函数：

#===================================
# 输入:
#        testPoint: 测试点
#        xArr: 特征坐标矩阵
#        yArr: 特征值矩阵
#        k: 高斯核权重衰减系数
# 输出:
#        testPoint * ws: 测试点集对应的结果
#===================================
def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
    '对指定点进行局部加权线性回归'
    
    xMat = mat(xArr); 
    yMat = mat(yArr).T
    m = shape(xMat)[0]
    
    # 采用向量方式计算高斯核
    weights = mat(eye((m)))
    for j in range(m):
        diffMat = testPoint - xMat[j,:]
        weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
        
    xTx = xMat.T * (weights * xMat)
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print "错误: 系数矩阵无法求逆"
        return
    
    ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
    return testPoint * ws

#===================================
# 输入:
#        testArr: 测试点集
#        xArr: 特征坐标矩阵
#        yArr: 特征值矩阵
# 输出:
#        yHat: 测试点集对应的结果集
#===================================
def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):
    '对指定点集进行局部加权回归'
    
    m = shape(testArr)[0]
    yHat = zeros(m)
    
    # 求出所有测试点集的
    for i in range(m):
        yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
    return yHat

       如下代码展示回归结果：

def test():
    '展示结果'
    
    # 载入数据
    xArr, yArr = loadDataSet('/home/fangmeng/ex0.txt')

    # 获取所有样本点的局部加权回归的预测值
    yHat = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.01)
    
    xMat = mat(xArr)
    srtInd = xMat[:,1].argsort(0)
    xSort = xMat[srtInd][:,0,:]
    #print xMat[srtInd][:,0,:]
    
    # 显示所有样本点和局部加权拟合线段
    import matplotlib.pyplot as plt
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.plot(xSort[:,1], yHat[srtInd])
    ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], mat(yArr).T.flatten().A[0], s=2, c='red')
    plt.show()

      当k(衰减系数) = 1时，测试结果：

      

      k(衰减系数) = 0.003时，测试结果：

      

      k(衰减系数) = 0.01时，测试结果：

      

      观察可以发现，k = 1就是和基本线性回归一样了 - 欠拟合；而 k = 0.003 则是过拟合了；k = 0.01 刚好，是最优的选择。

岭回归

       假如碰到了这样的情况：散点个数小于特征数了。

       这种情况有啥问题呢 ---- (x^Tx)^-1 必然会求解失败！解决办法可以采用岭回归技术。

       所谓岭回归，就是在回归系数求解式中的 x^Tx 之后加上 λI 使求逆部分可顺利求解，更改后的求解式如下：

      

       其中，I 是单位对角矩阵，看起来有点像山岭。这也是为什么这种回归方式叫做岭回归，哈哈！

       具体的实现代码本文就不具体给出了，但是有两个地方要特别注意一下：

       1. 需要对所有的数据进行标准化

       2. 根据不同的 λ 取到不同组的回归系数之后，还需要对不同组的权重进行择优。比较常用的有 lasso 方法(和岭回归的区别在于 w 和 λ 的约束关系)。

具体方案的制定

       提到了这么多种的回归方案，那么具体应该采用哪种好呢？

       首先，得根据问题的特性选择合适的方案。然后，使用同一组测试集测试每组方案的相关系数情况。

       另外，实践表明在同样适用的情况下，"偏差与方差折中" 是一条很重要的经验法则。

      

       红点位置对应的方案便是最佳方案。

       另外，关于偏差和方差的区别，可参考下图：

      

小结

       回归和分类一样，针对不同问题不同领域都有着不同算法。关键是要把握其整体思路，根据需要去进行选择。

       然而，本文所讲解的都是线性回归。线性回归始终有其弊端，因为很多实际问题本身是非线性的。

       因此在下篇文章中，将会专门详细地介绍一种高级的非线性回归法 - 树回归。