LOJ#10065. 「一本通 3.1 例 2」北极通讯网络

题目链接：https://loj.ac/problem/10065

题目描述

原题来自：Waterloo University 2002

北极的某区域共有 nnn 座村庄，每座村庄的坐标用一对整数 (x,yx, yx,y) 表示。为了加强联系，决定在村庄之间建立通讯网络。通讯工具可以是无线电收发机，也可以是卫星设备。所有的村庄都可以拥有一部无线电收发机， 且所有的无线电收发机型号相同。但卫星设备数量有限，只能给一部分村庄配备卫星设备。

不同型号的无线电收发机有一个不同的参数 ddd，两座村庄之间的距离如果不超过 ddd 就可以用该型号的无线电收发机直接通讯，ddd 值越大的型号价格越贵。拥有卫星设备的两座村庄无论相距多远都可以直接通讯。

现在有 kkk 台卫星设备，请你编一个程序，计算出应该如何分配这 kkk 台卫星设备，才能使所拥有的无线电收发机的 ddd 值最小，并保证每两座村庄之间都可以直接或间接地通讯。

例如，对于下面三座村庄：

其中 $|AB|=10,|BC|=20,|AC|=10\surd 5\approx 22.36$

如果没有任何卫星设备或只有 111 台卫星设备 (k=0k=0k=0 或 k=1k=1k=1)，则满足条件的最小的 d=20d = 20d=20，因为 AAA 和 BBB，BBB 和 CCC 可以用无线电直接通讯；而 AAA 和 CCC 可以用 BBB 中转实现间接通讯 (即消息从 AAA 传到 BBB，再从 BBB 传到 CCC)；

如果有 222 台卫星设备 (k=2k=2k=2)，则可以把这两台设备分别分配给 BBB 和 CCC ，这样最小的 ddd 可取 101010，因为 AAA 和 BBB 之间可以用无线电直接通讯；BBB 和 CCC 之间可以用卫星直接通讯；AAA 和 CCC 可以用 BBB 中转实现间接通讯。

如果有 333 台卫星设备，则 A,B,CA,B,CA,B,C 两两之间都可以直接用卫星通讯，最小的 ddd 可取 000。

输入格式

第一行为由空格隔开的两个整数 n,kn,kn,k;

第 2∼n+12sim n+12∼n+1 行，每行两个整数，第 iii 行的 xi,yix_i,y_ix​i​​,y​i​​ 表示第 iii 座村庄的坐标 (xi,yix_i, y_ix​i​​,y​i​​)。

输出格式

一个实数，表示最小的 ddd 值，结果保留 222 位小数。

样例

样例输入

3 2
10 10
10 0
30 0

样例输出

10.00

数据范围与提示

对于全部数据，1≤n≤500,0≤x,y≤104,0≤k≤1001le nle 500, 0le x, yle 10^4, 0le kle 1001≤n≤500,0≤x,y≤10​4​​,0≤k≤100。

题解：

       自己做这道题的时候，YY了一个跟正解一样的思路，但却不知道怎么证。

       后来到网上找了找，发现了一篇很好的证明。

       当然，只要证出来了，代码就很简单了。

       证明如下：

       当正向思考受阻时，逆向思维可能有奇效。本题就是这样。知道卫星设备的数量，求最小的收发距离，可能比较困难；如果知道距离求数量，就很简单了。把所有可以互相通讯的村庄连接起来，构成一个图。卫星设备的台数就是图的连通支的个数。

       问题转化为：找到一个最小的d，使得把所有权值大于d的边去掉之后，连通支的个数小于等于k。

       先看一个定理。定理2：如果去掉所有权值大于d的边后，最小生成树被分割成为k个连通支，图也被分割成为k个连通支。

       证明：用反证法。假设原图被分割成k’ (k'≠k)个连通支，显然不可能k’>k，所以k’<k。因此在某一图的连通支中，最小生成树被分成了至少两部分，不妨设其为T1,T2。因为T1和T2同属于一个连通支，所以一定存在x∈T1，y∈T2，w(x,y)≤d。又因为在整个最小生成树中，所以x到y的路径中一定存在一条权值大于d的边(u,v)（否则x和y就不会分属于T1和T2了），w(x,y)≤d<w(u,v)，所以把(x,y)加入，把(u,v)去掉，将得到一棵总权值比最小生成树还小的生成树。这显然是不可能的。所以，原命题成立。（证毕）

       有了这个定理，很容易得到一个构造算法：最小生成树的第k长边就是问题的解。

       首先，d取最小生成树中第k长的边是可行的。如果d取第k长的边，我们将去掉最小生成树中前k-1长的边，最小生成树将被分割成为k部分。由定理2，原图也将分割成为k部分。（可行性）

       其次，如果d比最小生成树中第k长的边小的话，最小生成树至少被分割成为k+1部分，原图也至少被分割成为k+1部分。与题意不符。（最优性）

       综上所述，最小生成树中第k长的边是使得连通支个数≤k的最小的d，即问题的解。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,k,x[510],y[510],d[510];
bool vis[510];
int cc(int i,int j){return(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);}
int main() 
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
        d[i]=cc(1,i);
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int mi=2e9,k;
        for(int j=2;j<=n;++j)if(!vis[j]&&d[j]<mi)mi=d[k=j];
        vis[k]=1;
        for(int j=2;j<=n;++j)if(!vis[j])d[j]=std::min(d[j],cc(k,j));
    }
    std::sort(d+1,d+1+n);
    printf("%.2lf
",sqrt(d[n-k+1]));
    return 0;
}

谢谢大家！