算法练习（七）

一、数塔

Problem Description

在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?

Input

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

Output

对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。

Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

传送门

代码

#include<stdio.h>
int max = -1;
int n;  // 层数 
int a[100][100],book[100][100];

void dfs(int x,int y,int sum) {
	if (x == n+1) {
		max = max>sum?max:sum;
		return;
	}
	
	int k;
	for (k = 0; k < 2; k++) {
		int tx = x + 1;
		int ty = y + k;
		
		if (book[tx][ty] != 1) {
			book[tx][ty] = 1;
			dfs(tx, ty, sum + a[tx][ty]);
			book[tx][ty] = 0;
		}
	}
}

int main() {
	int m,k;
	scanf("%d",&m);
	for (k = 0; k < m; k++) {
		int i,j;
		scanf("%d",&n);
		for (i = 0; i < n; i++) {
			for (j =0; j <= i; j++){
				scanf("%d",&a[i][j]);
			}
		}
		
		dfs(0,0,a[0][0]);
		book[0][0] = 1;
		printf("%d
",max);
		
		for (i = 0; i < 100; i++) {  // 为下一次运算进行初始化 
			for (j = 0; j < 100; j++) {
				a[i][j] = 0;
				book[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	return 0;
}

解题思路

利用dfs思想，遍历每一种可能。

其它解法

# include <stdio.h>

/*
    用一个二维数组来储存数据
    思路
    从下往上，从左右数值中找到较大的一个加到根上
    依次向上，最终输出根节点的值

*/

int main ()
{
    int n;
    int a[101][101];
    scanf ("%d",&n);
    while (n --)
    {
        int num ;
        scanf ("%d",&num);

        int i ,j ;

        //初始化二维数组
        for ( i = 0 ; i < num ; i ++)
            for ( j = 0 ; j <= i ; j ++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }

        for( i = num-2 ; i >= 0 ; i -- )//从倒数第二行逐行向上
            for ( j = 0 ; j <= i ;  j ++)//遍历此行
                a[i][j] += (a[i+1][j] > a[i+1][j+1]) ? a[i+1][j] : a[i+1][j+1];

        printf("%d
",a[0][0]);

    }


    return  0;
}

---

二、最近公共祖先

题目描述

有一棵无穷大的满二叉树，其结点按根结点一层一层地从左往右依次编号，根结点编号为1。现在有两个结点a，b。请设计一个算法，求出a和b点的最近公共祖先的编号。
给定两个int a,b。为给定结点的编号。请返回a和b的最近公共祖先的编号。注意这里结点本身也可认为是其祖先。

测试样例：

2，3

返回：

1

传送门

代码

#include<stdio.h>
int x,y;

int fun(int a, int b) {
	if (a == b)
		return a;
	return a > b? fun(a/2,b):fun(a,b/2);  // 找到较大数的上层节点，不可同时找上层节点 
}

int main() {
	scanf("%d%d",&x,&y);
	printf("%d
",fun(x,y));
	return 0;
}

解题思路

如果两数不相等，就求最大数的根，再进行判断。

---

三、饭卡

Problem Description

电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功 （即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

Input

多组数据。对于每组数据：
第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。
第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。
第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。
n=0表示数据结束。

Output

对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

Sample Input

1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0

Sample Output

-45
32

传送门

代码

#include<stdio.h>

int main() {
	while(1) {
		int n,i,j,m,max = 0,t;
		scanf("%d",&n);
		if (n == 0) 
			break;
		int a[n+1];  // 存储菜价 
		for (i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d",&a[i]);
			if (max < a[i]) {
				max = a[i];
				t = i;
			}
		}
		scanf("%d",&m);
		int b[m+1];
		if (m < 5) {
			printf("%d
",m);
			continue;
		}
		for (i = 0; i < m+1; i++)
			b[i] = 0;
		
		for (i = 1; i <= n && i != t; i++)
			for (j = m; j >= a[i]; j--) {
				if (b[j - a[i]] + a[i] > b[j]) {
					//printf("b[%d]=%d  a[%d]=%d
",j,b[j-a[i]]+a[i],i,a[i]);
					b[j] = b[j - a[i]] + a[i];
				}
			}
		printf("%d
",m - b[m-5] - max);
	}
	return 0;
} 

解题思路

通过循环dp[j]=max（dp[j]+dp[j-vol[i]]+value[i]），不断更新dp[j]的值。

附：歌 《Try》

以上