钞票找零-贪心,动态规划算法

钞票找零问题是一个非常古老的问题,百度那些都有,本文将一步步的讲解关于钞票找零的算法以及优化过程.

贪心算法

假设有1,2,5,10面值的钞票,现在需要找零89元,我们该怎么做呢?

解析一:

这里面,最简单的一种方法,也就是89/1=89 了,我们只需要89张1元面值的即可,

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<?php   class Change {     protected $moneyArr = [1, 2, 5, 10];//零钱     protected $changeMethod;//找零方法       public function __construct($moneyArr = null)     {         $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr);         sort($this->moneyArr);//顺序排序零钱     }       public function change($moneyNum)     {         $moneyArr = $this->moneyArr;         $changeMethod = [];         while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从小到大             if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额                 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算                 $moneyNum -= intval($quotient * $faceValue);//减去已经找过的                 if (isset($changeMethod[$faceValue])) {                     $changeMethod[$faceValue] += $quotient;                 } else {                     $changeMethod[$faceValue] = $quotient;                 }             }             if ($moneyNum == 0) {                 break;             }         }         if ($moneyNum>0){             return null;         }         $this->changeMethod = $changeMethod;         return $this->changeMethod;     } }   $change = new Change([ 2, 5, 10]); var_dump($change->change(89)); //

这时候有个问题就是,都是按照最小面值找的,找零89块钱,竟然需要89张1元的纸币,那能不能在能找零的情况,尽可能的将找的纸币数量缩小呢?

这时候我们就需要用到贪心算法

贪心算法是指,在每一次情况下,都选择当前最优的解进行处理,

在这个场景里面,最优的解就应该是从大到小进行找零了,89块钱,先找最大面值的50块钱,然后找10块钱的,以此类推

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<?php   class Change {     protected $moneyArr = [1, 2, 5, 10];//零钱     protected $changeMethod;//找零方法       public function __construct($moneyArr = null)     {         $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr);         rsort($this->moneyArr);//倒序排序零钱     }       public function change($moneyNum)     {         $moneyArr = $this->moneyArr;         $changeMethod = [];         while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从小到大             if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额                 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算                 $moneyNum -= intval($quotient * $faceValue);//减去已经找过的                 if (isset($changeMethod[$faceValue])) {                     $changeMethod[$faceValue] += $quotient;                 } else {                     $changeMethod[$faceValue] = $quotient;                 }             }             if ($moneyNum == 0) {                 break;             }         }         if ($moneyNum>0){             return null;         }         $this->changeMethod = $changeMethod;         return $this->changeMethod;     } }   $change = new Change([1, 2, 5, 10]); var_dump($change->change(89)); var_dump($change->change(89)); //array(3) {   [10]=>   float(8)   [5]=>   float(1)   [2]=>   float(2) }

这样就可以在尽可能纸币数量小的时候找零了

动态规划

在上面的从大到小进行做除数运算,获得一个找零解之后,我们现在研究另一个问题:

当钞票金额只有3,5,需要找零11元时,你会发现上面的算法根本算不出结果,因为它不管从大到小进行除数找零,还是从小到大进行除数找零都不能找到结果(11-3*3=2,11-2*5=1),但其实11元是有解的(2*3+5)

这时候,我们需要在贪心算法的基础上,进行相应的规划(当每次找一个最优解时,尝试通过该解之后继续寻找,但是找零方法只记录到缓存中,如果尝试找零成功,则记录,尝试找零失败,则放弃这个最优解):

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<?php   class Change {     protected $moneyArr = [1, 2, 5, 10];//零钱     protected $changeMethod;//找零方法       public function __construct($moneyArr = null)     {         $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr);         rsort($this->moneyArr);//倒序排序零钱     }       public function change(int $moneyNum,?array $moneyArr=null)     {         if ($moneyArr===null){             $moneyArr =$this->moneyArr;         }         $changeMethod = [];         while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从大到小             if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额                 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算,这里有着最大面值的解,但是因为规划问题,如果$quotient过大可能会造成无解,所以当无解的时候,尝试降低数量                 for ($i = $quotient; $i > 0; $i--) {                     $changeMethodTemp = [];//找零方法缓存                     $moneyNumTemp=$moneyNum;//金额缓存                     $moneyNumTemp -= intval($i * $faceValue);//减去已经找过的                     if (isset($changeMethodTemp[$faceValue])) {                         $changeMethodTemp[$faceValue] += $i;                     } else {                         $changeMethodTemp[$faceValue] = $i;                     }                     //如果当前没有找清,则尝试判断剩余情况是否能找清                     if ($moneyNumTemp == 0){                         $moneyNum = 0;                         $changeMethod = $changeMethodTemp;                         break 2;                     }elseif($moneyNumTemp > 0) {                         $changeMethodTemp2 = $this->change($moneyNumTemp,$moneyArr );                         if ($changeMethodTemp2 === null) {                             continue;                         } //                        有值代表能找清                         $moneyNum = 0;                         $changeMethod = $changeMethodTemp + $changeMethodTemp2;                         break 2;                     }                 }             }         }         if ($moneyNum > 0) {             return null;         }         $this->changeMethod = $changeMethod;         return $this->changeMethod;     } }   $change = new Change([3, 5]); var_dump($change->change(11));

上面的算法步骤如下:

1:从大到小取出 面值

2:根据最大的做除数运算,获取到当前面值faceValue最多可以找quotient张,

3:根据quotient做循环操作,尝试quotient是否存在找零成功的解,如果存在则直接返回

4:如果quotient不存在找零成功,则继续尝试找quotient-1,以此类推,知道quotient等于0,则代表该面值不能找零成功

5:将面值改为第二大,继续2,3,4操作

加强版动态规划找最优解

通过上面的算法,我们实现了简单的动态规划

使其在面额为3,5,找零11元的情况下,被金额5"贪心迷惑",找2个金额5,导致算法无解

这个算法实现了在这种情况下,不贪心,不被眼前的2*5迷惑,为了"大局",舍弃了表面的最优

那么?这是最优解吗?

当面额只有1,30,50,找零90的情况下,根据贪心+规划算法,我们能得到50*1+30*1+1*10的情况,这需要用到12张钞票,但是实际情况我们只需要找30*3,3张钞票即可解决该问题.这代表着我们需要完全遍历所有能找零的方法,然后根据钞票张数不同进行选择最优解

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<?php   class Change {     protected $moneyArr = [1, 2, 5, 10];//零钱     protected $changeMethod;//找零方法       public function __construct($moneyArr = null)     {         $moneyArr == null || ($this->moneyArr = $moneyArr);         rsort($this->moneyArr);//倒序排序零钱     }       public function change(int $moneyNum,?array $moneyArr=null)     {         if ($moneyArr===null){             $moneyArr =$this->moneyArr;         }         $optimalChangeMethod = [];//当前最优方法         $optimalNum = -1;//当前最优张数         while ($faceValue = array_shift($moneyArr)) {//从大到小             if ($faceValue <= $moneyNum) {//面值必须小于等于找零金额                 $quotient = floor($moneyNum / $faceValue);//做除数运算,这里有着最大面值的解,但是因为规划问题,如果$quotient过大可能会造成无解,所以当无解的时候,尝试降低数量                 for ($i = $quotient; $i > 0; $i--) {                     $changeMethodTemp = [];//找零方法缓存                     $moneyNumTemp=$moneyNum;//金额缓存                     $moneyNumTemp -= intval($i * $faceValue);//减去已经找过的                       if (isset($changeMethodTemp[$faceValue])) {                         $changeMethodTemp[$faceValue] += $i;                     } else {                         $changeMethodTemp[$faceValue] = $i;                     }                     //如果当前没有找清,则尝试判断剩余情况是否能找清                     if ($moneyNumTemp == 0){//如果当前情况直接找清,则判断是否优于最优解                         $banknoteNum = array_sum($changeMethodTemp);                         if ($optimalNum==-1||$banknoteNum<$optimalNum){                             $optimalNum = $banknoteNum;                             $optimalChangeMethod = $changeMethodTemp;                         }                     }elseif($moneyNumTemp > 0) {                         $changeMethodTemp2 = $this->change($moneyNumTemp,$moneyArr);                         if ($changeMethodTemp2 === null) {                             continue;                         }                         $banknoteNum = array_sum($changeMethodTemp2)+ array_sum($changeMethodTemp);                         if ($optimalNum==-1||$banknoteNum<$optimalNum){ //                        有值代表能找清                             $optimalNum =$banknoteNum;                             $optimalChangeMethod = $changeMethodTemp + $changeMethodTemp2;                         }                     }                 }             }         }         if ($optimalNum==-1){             return null;         }           $this->changeMethod = $optimalChangeMethod;         return $this->changeMethod;     } }   $change = new Change([3,5]); var_dump($change->change(11));

 

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