动态规划之矩阵连乘和POJ 1651

题目：

设有矩阵M1,M2,M3,M4，
其维数分别是10×20, 20×50, 50×1 和1×100，现要求出这4个矩阵相乘的结果。我们知道，若矩阵A的维数是p×q，矩阵B的维数是q×r，则A与B相乘后所得矩阵AB的维数是p×r。按照矩阵相乘的定义，求出矩阵AB中的一个元素需要做q次乘法（及q-1次加法）。这样，要计算出AB就需要做p×q×r次乘法。为简单起见，且由于加法比同样数量的乘法所用时间要少得多，故这里我们暂不考虑加法的计算量。由于矩阵连乘满足结合律，故计算矩阵连乘的方式可以有多种。

 

例如，我们可以按M1(M2(M3M4))的方式去计算，

也可以按(M1(M2M3))M4的方式去计算，所得结果是相同的。

但是值得注意的是，

按前一方式计算需要做125,000次乘法，

而按后一方式计算只需要做2,200次乘法。

由此可见，矩阵连乘的运算次序对于所需要的计算量

（所需乘法次数）有着极大的影响。

M3M4：50*1*100=5,000；M2(M3M4)：20*50*100=100,000

M1(M2(M3M4))：10*20*100=20,000

(M2M3)：20*50*1=1000；(M1(M2M3))：10*20*1=200 ；

(M1(M2M3))M4：10*1*100=1000

动态规划重在解决状态转移方程，设存储多个矩阵的数组为mat，行为r列为c，动态规划数组为m，m[j][i]表示[j,i]区间上矩阵连乘的最小计算量。则最终结果保存在m[0][n-1]上。状态转移方程为：

m[j][i] = min(m[j][k] + m[k+1][i] + mat[j].r*mat[k].c*mat[i].c)
随着k的值不同，m[j][i]保存最小的值。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
struct MAT
{
  int r, c;
}mat[1005];
int m[1005][1005];
int main(void)
{
    //freopen("9-6.in","r",stdin);
  int n;
  scanf("%d",&n);//矩阵个数
  for(int i=0; i<n; i++)
  {
    scanf("%d%d",&mat[i].r, &mat[i].c);
    m[i][i] = 0;//每个矩阵的行数和列数
  }
  for(int i=0; i<n; i++)  //第i列
  {
    for(int j=i-1; j>=0; j--) //第j行
    {
       int temp = 999999;
       for(int k=j; k<i; k++)
       {
            int x = m[j][k] + m[k+1][i] + mat[j].r*mat[k].c*mat[i].c;
         temp = min(temp, x);    //取不同断点寻找最优子结构
       }
       m[j][i]=temp;//表示[j,i]区间上的最优解
    }
  }
  printf("%d",m[0][n-1]);//最终结果在m[0][n-1]上
    return 0;
}
//2015-07-31

 掌握之后可以去刷POJ 1651

http://poj.org/problem?id=1651

下面是我的Ac代码，这次区间为[i, j]

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
struct mat
{
  int r, c;
}m[105];
int a[105], dp[105][105];
int main(void)
{
    //freopen("1651.in","r",stdin);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; i++)
  {
    scanf("%d",&a[i]);
    dp[i][i] = 0;
  }
  for(int i=0; i<n-1; i++)
  {
    m[i].r = a[i];
    m[i].c = a[i+1];
  }
  n--;
  for(int i=n-2; i>=0; i--)
    for(int j=i+1; j<n; j++)
    {
        dp[i][j] = 9999999; 
      for(int k=i; k<j; k++)
      {
        int x = dp[i][k] + dp[k+1][j] + m[i].r*m[k].c*m[j].c;
        dp[i][j] = min(dp[i][j], x);
      }
    }
  printf("%d
",dp[0][n-1]);
    return 0;
}