图论——Floyd算法拓展及其动规本质

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一、Floyd算法本质

　　首先，关于Floyd算法：

　　Floyd-Warshall算法是一种在具有正或负边缘权重（但没有负周期）的加权图中找到最短路径的算法。算法的单个执行将找到所有顶点对之间的最短路径的长度（加权）。

　　通俗一点说，Floyd就是可以用于求解多源汇最短路径的算法，也就是求连通图中任意两点间的最短路径，当然，如果不连通，它返回的就是无穷大（初始化为无穷大）。Floyd可以处理负权，但无法处理有负权环的图。

　　接下去进入正题：

　　众所周知，Floyd算法本质其实是动态规划。它其实是由三维数组的DP优化而来。

　　我们用数组dis[i,j,k]表示从点i到点j，以前k个点作为中转点的最短路径长度。

　　为了实现状态转移，我们把当前dis[i,j,k]的所有状态的集合划分为两类，一类是经过k点的，一类是不经过k点的。对于前者，显然dis[i,j,k]=dis[i,j,k-1]；对于后者，我们可以得到dis[i,j,k]=dis[i,k,k-1]+dis[k,j,k-1]，也就是i到k的最短路径长度加上k到j的最短路径长度。于是我们便可以得到状态转移方程：

　　dis[i,j,k] = min(dis[i,j,k-1],dis[i,k,k-1]+dis[k,j,k-1]

　　边界条件：dis[i,j,0] = w[i,j]，即i与j之间的直接边的权值，若不存在则为正无穷；还有dis[i,i,0]=0。

　　代码如下：

void floyd_original() {
    for(int k=1;k<=n;k++) {
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                dis[i][j][k]=min(dis[i][j][k-1],dis[i][k][k-1]+dis[k][j][k-1]);
            }
        }
    }
}

　　类比前面背包问题的优化方式，我们发现对于每一层k，它的状态计算只与第k-1层的状态有关，那么我们便可以省略这一维。因为省略之后，在计算第k层的dis[i,j]时，我们所需的dis[i,k]和dis[k,j]还是上一层的。

　　这一点用一个式子便可证明：

　　dis[i,k,k] = min(dis[i,k,k-1] dis[i,k,k-1]+dis[k,k,k-1]) = min(dis[i,k,k-1], d[i,k,k-1]+0) = d[i,k,k-1]

　　dis[k,j]同理即可得证。

　　于是我们便可得到最普遍的二维数组的状态转移方程：

　　dis[i,j] = min(dis[i,j],dis[i,k]+dis[k,j])

　　从三维变成二维确实降低了空间开销，但是我们也可以发现时间复杂度是不变的，仍然是O(n³)。

二、Floyd算法变形解决有边数限制的最短路问题

　　我们用三维数组d[i,j,e]表示点i到点j，经过e条边的最短路径长度。

　　我们假设经过的倒数第二个点是k，那么我们很容易就可以得到状态转移方程：

　　d[i,j,e]=min{d[i,k,e-1]+w[k,j]} k∈[1,n]

　　代码如下：

for(int e=1;e<=n;e++)
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                d[i][j][e]=min(d[i][j][e],d[i,k,e-1]+w[k][j]);

　　但是这样处理的时间复杂度高达O(n⁴)，于是我们自然会想到要做一些优化。

　　我们为了达到明显的指数级别的优化效果，我们选择二进制优化。

　　假设限制的边数为s时，我们把第三维e表示成2^e条边。那么我们预处理时只需要将2^e<k的所有符合条件的e枚举完即可。然后便可以用若干个2的整数次幂的和表示出s。

　　我们再用数组f[i,j,t]来表示状态，其中t表示边数为前t个2的整数次幂的和，那么我们就可以得到状态转移方程：

　　f[i,j,t] = min{f[i,k,t-1]+d[k,j,t]}

　　其中k是i到j的最短路径中间经过的一个点，将路径中所有的边划分为前2⁰+2¹+…+2^t-1条与后2^t条。

　　那么我们就只需在最外层枚举k即可。这个算法的时间复杂度就可以降低到O(n³logn)。

 　　大家对这个问题有兴趣的话可以去看一下这道题：POJ 3613