【PowerOJ1751&网络流24题】数字梯形问题（费用流）

题意：

 思路：

【问题分析】

求图的最大权不相交路径及其变种，用费用最大流解决。

【建模方法】

规则(1)

把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S汇T。

1、对于每个点i从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i权值的有向边。

2、从S向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。

3、从梯形底层每个<i.b>向T连一条容量为1，费用为0的有向边。

4、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(2)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。

1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。

3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为1，费用为点i权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(3)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。

1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。

3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为无穷大，费用为点i权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

【建模分析】

对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任意一条ST之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求

最大费用最大流就是费用最大的m条路经。

对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S向顶层点流量限制也为1。费用只需

设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。

对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S到顶层顶点之间的边以外所有边的流量限制即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> Pll;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VII;
typedef pair<ll,ll>P;
#define N  100010
#define M  1000000
#define INF 1e9
#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pb push_back
#define pi acos(-1)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)a;i>=(int)b;i--)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define Rand (rand()*(1<<16)+rand())
#define id(x) ((x)<=B?(x):m-n/(x)+1)
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1

const ll MOD=1e9+7,inv2=(MOD+1)/2;
      double eps=1e-6;
      int dx[4]={-1,1,0,0};
      int dy[4]={0,0,-1,1};

int head[N],vet[N],len1[N],len2[N],nxt[N],dis[N],q[N],inq[N],a[50][50],
    num[50][50][2],pre[N][2],s,S,T,tot,ans1,ans2,n,m;



int read()
{
   int v=0,f=1;
   char c=getchar();
   while(c<48||57<c) {if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
   while(48<=c&&c<=57) v=(v<<3)+v+v+c-48,c=getchar();
   return v*f;
}

void add(int a,int b,int c,int d)
{
    nxt[++tot]=head[a];
    vet[tot]=b;
    len1[tot]=c;
    len2[tot]=d;
    head[a]=tot;

    nxt[++tot]=head[b];
    vet[tot]=a;
    len1[tot]=0;
    len2[tot]=-d;
    head[b]=tot;
}

int spfa()
{
    rep(i,1,s)
    {
        dis[i]=-INF;
        inq[i]=0;
    }
    int t=0,w=1;
    q[1]=S; dis[S]=0; inq[S]=1;
    while(t<w)
    {
        t++; int u=q[t%(s+5)]; inq[u]=0;
        int e=head[u];
        while(e)
        {
            int v=vet[e];
            if(len1[e]&&dis[u]+len2[e]>dis[v])
            {
                dis[v]=dis[u]+len2[e];
                pre[v][0]=u;
                pre[v][1]=e;
                if(!inq[v])
                {
                    w++; q[w%(s+5)]=v; inq[v]=1;
                }
            }
            e=nxt[e];
        }
    }
    if(dis[T]==-INF) return 0;
    return 1;
}

void mcf()
{
    int k=T;
    int t=INF;
    while(k!=S)
    {
        int e=pre[k][1];
        t=min(t,len1[e]);
        k=pre[k][0];
    }
    ans1+=t;
    k=T;
    while(k!=S)
    {
        int e=pre[k][1];
        len1[e]-=t;
        len1[e^1]+=t;
        ans2+=t*len2[e];
        k=pre[k][0];
    }
}

void solve1()
{
    tot=1;
    rep(i,1,s) head[i]=0;
    rep(i,1,m) add(S,num[1][i][0],1,0);
    rep(i,1,n-1)
     rep(j,1,m+i-1)
     {
         add(num[i][j][1],num[i+1][j][0],1,0);
         add(num[i][j][1],num[i+1][j+1][0],1,0);
     }
    rep(i,1,n)
     rep(j,1,m+i-1) add(num[i][j][0],num[i][j][1],1,a[i][j]);
    rep(i,1,n+m-1) add(num[n][i][1],T,1,0);
    ans1=ans2=0;
    while(spfa()) mcf();
    printf("%d
",ans2);
}

void solve2()
{
    tot=1;
    rep(i,1,s) head[i]=0;
    rep(i,1,m) add(S,num[1][i][0],1,0);
    rep(i,1,n-1)
     rep(j,1,m+i-1)
     {
         add(num[i][j][0],num[i+1][j][0],1,a[i][j]);
         add(num[i][j][0],num[i+1][j+1][0],1,a[i][j]);
     }
    rep(i,1,n+m-1) add(num[n][i][0],T,INF,a[n][i]);
    ans1=ans2=0;
    while(spfa()) mcf();
    printf("%d
",ans2);
}

void solve3()
{
    tot=1;
    rep(i,1,s) head[i]=0;
    rep(i,1,m) add(S,num[1][i][0],1,0);
    rep(i,1,n-1)
     rep(j,1,m+i-1)
     {
         add(num[i][j][0],num[i+1][j][0],INF,a[i][j]);
         add(num[i][j][0],num[i+1][j+1][0],INF,a[i][j]);
     }
    rep(i,1,n+m-1) add(num[n][i][0],T,INF,a[n][i]);
    ans1=ans2=0;
    while(spfa()) mcf();
    printf("%d
",ans2);
}

int main()
{
    //freopen("1.in","r",stdin);
    m=read(),n=read();
    s=0;
    rep(i,1,n)
     rep(j,1,m+i-1)
     {
         a[i][j]=read();
         num[i][j][0]=++s;
         num[i][j][1]=++s;
     }
    S=++s,T=++s;
    solve1();
    solve2();
    solve3();
    return 0;
}