#10072. 「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip(floyd求最小环+路径)

https://loj.ac/problem/10072

针对无向图

因为Floyd是按照结点的顺序更新最短路的，所以我们在更新最短路之前先找到一个连接点k，当前的点k肯定不存在于已存在的最短路f[i][j]的路径上，因为我们还没用这个k去更新最短路，相当于 （i -> k -> j -> j到i的最短路 -> i）这样一个环就找到了，接下来我们要记录路径，用path[i][j]表示在最短路i到j的路径上j的前一个结点，所以我们在更新最短路时也要更新这个点，原来的最短路是i -> j，现在变成了 i -> k -> j，所以有per[i][j] = pre[k][j]，因为要找最小环，所以不断更新找到环的权值，环更新一次，路径也要更新一次，路径更新时根据pre数组迭代一下就ok了

附上图片加深理解

#include <bits/stdc++.h>
#define read read()
#define up(i,l,r) for(register int i = (l);i <= (r);i++)
#define down(i,l,r) for(register int i = (l);i >= (r);i--)
#define traversal_vedge(i) for(register int i = head[u]; i ;i = e[i].nxt)
#define ll long long
using namespace std;
int read
{
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < 48 || ch > 57) {if(ch == '-')f = -1; ch = getchar();}
    while(ch >=48 && ch <=57) {x = 10 * x + ch - 48;ch = getchar();}
    return x * f; 
}
void write(int x)
{
    if(x < 0) x = -x,putchar('-');
    if(x > 9) write(x/10);
    putchar(x%10 + 48);
}
//-------------------------------------------------
const int N = 105,INF = 0xfffffff;//debug 1e9+7 -> 0xffffff//极大值要开大
int n,m;
int f[N][N],e[N][N],pre[N][N],path[N];
//f ,e
int min_ring,cnt;
void init()
{
    up(i,1,n)
        up(j,1,n)
        {
            f[i][j] = INF;
            e[i][j] = INF;
            pre[i][j] = i;//i -> j最短路径上j的前一个节点;
            //初始化; 
        }
}

void readdata()
{
    n = read; m = read;
    init();
    up(i,1,m)
    {
        int u = read,v = read, w = read;
        f[u][v] = f[v][u] = e[u][v] = e[v][u] = min(w,f[u][v]);
        //重边中取最小; 
    }
}

void floyd()
{
    min_ring = INF; 
    up(k,1,n)
    {
        //求环 
        up(i,1,k-1)//k不在i->j上;//这里的k是与i,j相连的;
        {
            up(j,1,i-1) //无向图利用对称性//?
            {
                if(f[i][j] + e[i][k] + e[k][j] < min_ring) 
                {
                    min_ring = f[i][j] + e[i][k] + e[k][j];
                    cnt = 0;
                    int tmp = pre[i][j];
                    while(tmp != i)
                    {
                        path[++cnt] = tmp;
                        tmp = pre[i][tmp];
                    }
                    path[++cnt] = i;
                    path[++cnt] = k;
                    path[++cnt] = j;
                }
            }
        }
        //------------------------ 
        //求最短路;//这里的k是中转点(在i->j的最短路上)
        up(i,1,n)
            up(j,1,n)
            {
                if(f[i][k] + f[k][j] < f[i][j])
                {
                    f[i][j] = f[i][k] + f[k][j];
                    //pre[i][j]表示i到j最短路径上j前面的一个点 
                    //所以此时i到j的最短路径上j前一个点为k到j最短路径上j的前一个点
                    pre[i][j] = pre[k][j];
                }
            }
    } 
}

void write_ans()
{
    if(min_ring == INF) printf("No solution.
");
    else up(i,1,cnt) write(path[i]),putchar(' ');
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    readdata();
    floyd();
    write_ans();
    return 0;
}