数论浅谈

数论浅谈

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本篇博客将会介绍一些浅显的模数数论

同余

同余其实只是一种表达式

符号

如果 a ÷ m = k ······ b

那么我们会写成 a ≡ b （mod m）

这个就是同余方程的书写。

一些定理

1. 如果 (a,b) = 1,那么一定存在一个k使k·a ≡ 1(mode m)

k写作a^-1称作a关于m的逆元。

2.同余方程满足除了除法以外的所有等式的性质。

乘法逆元的求法

我们可以用扩展欧几里得。

首先我们考虑扩展欧几里得的本体，

xa+ym = gcd(x,y)

因为gcd（a,m） = 1

所以xa+ym = 1

仔细观察，这个的本质就是辗转相除法，

所以

int kzojld(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=kzojld(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

欧拉函数

定义 

比x小的所有与x互质的数的个数

通项

欧拉定理　　

内容

a^φ(m)≡ 1 （mod m）

关于这个公式我就不具体解释了。

证明

我们用X₁,X₂……X_φ(m)来表示所有与a互质的数。

我们根据一个定理：所有与m互质的同余类构成一个群。

关于

所以我们可以把{X₁,X₂……X_φ(m)}看成一个群，

通常这个被称作模m的简化剩余系，或者整数模m剩余群。

而群阶为φ(m)，所以a^φ(m)≡ 1 （mod m）

（关于群，环，域，过段时间我会再写一篇随笔）

费马小定理

内容

一个质数p。

a^p-1 ≡ 1（mod p）

证明

费马小定理其实就是欧拉定理的特例，证明就自己理解吧。

应用

1.部分数求逆元。

中国剩余定理

 ax ≡ c  (mod n)

 bx ≡ d  (mod m)

　　　  (mod[m,n])