向量和矩阵

向量：m行n列的数表。

从作用上看，它可以进行线性变换（如旋转），将一个点变换至另一个点。

方阵：n行n列的矩阵。它的行列式记作|A|或者detA  （只有方阵才有行列式）

同型矩阵：对应的行数和列数相等

矩阵的相等：首先是同型矩阵，其次每个对应元素相等。  称为A=B

比较特殊的矩阵：

1.  主对角线元素为1，其余为0，称为单位矩阵，记作E

2.  主对角之外元素都为0，称为对角矩阵，记作Λ。  单位矩阵是特殊的对角矩阵

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[1,-2,0]这样的数表称为向量，包含行向量和列向量，n维向量代表其包含元素个数。

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矩阵的加法：对于同型矩阵，每个对应元素相加。就是矩阵相加。

矩阵的乘法：矩阵乘一个数k，矩阵的每个元素都要乘以k。

向量的相加：行向量只能与行向量相加，列向量相同。

向量的数乘：向量A乘一个数k，则向量的每个元素（分量）都要乘以k。

向量的内积：向量相乘，记作(A,B) 。向量的内积是对应分量的乘积的和。是一个数。

A=[1,2,3]  B=[2,3,4]

则(A,B)=1*2+2*3+3*4=20.

矩阵与向量相乘：矩阵A与向量x相乘，做法就是让矩阵的每一行元素分别与向量x做内积。

|a₁₁ a₁₂ a₁₃|   *     [x1]   =  [a₁₁*x1+a₁₂*x2+a₁₃*x3]

|a₂₁ a₂₂ a₂₃|　　  |x2|       [a₂₁*x1+a₂₂*x2+a₂₃*x3]

　　　　　　　　 [x3]

这一项可能 比较难以理解，可以借用线性方程组来理解：

|a₁₁x₁+a₁₂x₂+.......+a_1nx_n=b₁

|a₂₁x₁+a₂₂x₂+.......+a_2nx_n=b₂

.......

|a_n1x₁+a_n2x₂+.......+a_nnx_n=b_n

对于这个线性方程组，它的系数矩阵，乘以[x₁ x₂ x₃...]^T这个x向量，所得到的就是右侧的b_i向量，即Ax=b

一个矩阵乘向量，也可以视为是对一个向量的线性变换。将向量x变换为了向量b

对标量的线性变换：y=kx    

对向量的线性变换：y=Ax

矩阵与矩阵相乘：方法同上。矩阵可以视为列向量的组合，处理方法一致。它的意义是对向量的复合变换。

但需要注意的是：

1. AB≠BA  ，矩阵中交换律基本不可用。

2. AB的结果是0，并不意味着其中一定有零矩阵。

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伴随矩阵：矩阵A的伴随矩阵A*，它的每一项都是A中对应元素的代数余子式（有正负号），并且位置是转置的

伴随矩阵的重要公式：

AA*=A*A=|A|E