NOIP 模拟 $87; m 集合均值$

题解 (by;zjvarphi)

易得第 (i) 个加进去的数的贡献是不变的，就是 (sum_{k=i+1}^{n+1}frac{1}{k})。

因为是随机选数，最后算期望，所以只需要算出所有情况的答案和，最后再除以总的方案数即可。

发现每个数在每个位置的概率是相等的，意思就是所有数对答案的贡献是等价的，所以只需要求出所有数的和，再乘上所有位置的贡献综合。

因为随机选数相当于全排列，所以每个数在第 (i) 个位置出现的次数为 (P_{n-1})，（(P_n) 意思就是 (n) 的全排列）因为最后还要除以 (P_{n})，所以只用在最后除以 (n) 即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri signed
#define pd(i) ++i
#define bq(i) --i
#define func(x) std::function<x>
namespace IO{
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    #define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?(-1):*p1++
    #define debug1(x) std::cerr << #x"=" << x << ' '
    #define debug2(x) std::cerr << #x"=" << x << std::endl
    #define Debug(x) assert(x)
    struct nanfeng_stream{
        template<typename T>inline nanfeng_stream &operator>>(T &x) {
            bool f=false;x=0;char ch=gc();
            while(!isdigit(ch)) f|=ch=='-',ch=gc();
            while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=gc();
            return x=f?-x:x,*this;
        }
    }cin;
}
using IO::cin;
namespace nanfeng{
    #define FI FILE *IM
    #define FO FILE *OUT
    template<typename T>inline T cmax(T x,T y) {return x>y?x:y;}
    template<typename T>inline T cmin(T x,T y) {return x>y?y:x;}
    using ll=long long;
    static const int N=1e5+7,MOD=998244353;
    int inv[N*200],a,al,n,m,tmp,INV=1;
    ll sum,res;
    inline int main() {
        FI=freopen("mos.in","r",stdin);
        FO=freopen("mos.out","w",stdout);
        cin >> n >> m;
        for (ri i(1);i<=n;pd(i)) cin >> a,sum+=a;
        (sum*=m)%=MOD;
        al=n*m+1;
        inv[1]=1;
        for (ri i(2);i<=al;pd(i)) inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
        for (ri i(al);i>1;bq(i)) {
            tmp+=inv[i];
            if (tmp>=MOD) tmp-=MOD;
            res+=tmp;
        }
        res%=MOD;
        printf("%lld
",1ll*sum*res%MOD*inv[al-1]%MOD);
        return 0;
    }
}
int main() {return nanfeng::main();}