pku3264 Balanced Lineup （RMQ）

题意：给你一个序列，之后又Q次询问，每次都是询问一个区间内最大值与最小值的差

分析：RMQ，求区间最值

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：  

     RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。

   预处理: 预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。 例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值 注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的 所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。

   查询: 假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <(n - m + 1). 于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n]; 而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值 我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的. 例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3)) 由此我们要注意的是预处理f(i,j)中的j值只需要计算log(n+1)/log(2)即可，而i值我们也只需要计算到n-2^k+1即可。

以上来自此博客http://www.cnblogs.com/cnjy/archive/2009/08/30/1556566.html

不过也写了一个线段树版本的

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define MAXN 50000+10
using namespace std;
int dpmax[MAXN][20],dpmin[MAXN][20],n;
int a[MAXN];
void init()
{
    memset(dpmax,0,sizeof(dpmax));
    memset(dpmin,0,sizeof(dpmin));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dpmax[i][0]=a[i];
        dpmin[i][0]=a[i];
    }
    for(int j=1;j<=log((double)(n+1))/log(2.0);j++)
    {
        int limit=n+1-(1<<j);
        for(int i=1;i<=limit;i++)
        {
            dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int get_sub(int a,int b)
{
    int k=(int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
    int maxn=max(dpmax[a][k],dpmax[b-(1<<k)+1][k]);
    int minn=min(dpmin[a][k],dpmin[b-(1<<k)+1][k]);
    return maxn-minn;
}
int main()
{
    int Q,l,r;
    while(scanf("%d %d",&n,&Q)==2)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        init();
        while(Q--)
        {
            scanf("%d %d",&l,&r);
            printf("%d\n",get_sub(l,r));
        }
    }
    return 0;
}

#include<stdio.h>
#include<limits.h>
#define N 50010
#define MAX(x,y) (x)>(y)?(x):(y)
#define MIN(x,y) (x)<(y)?(x):(y)
struct node
{
    int r,l,min,max;
}p[N*3];
int que[N];
void bulid(int k,int s,int t)
{
    int kr,kl,mid,a,b;
    p[k].l=s;p[k].r=t;
    if(s==t)
    {
      p[k].max=p[k].min=que[s];
    }
    else {
    mid=(s+t)>>1;kl=k<<1;kr=kl+1;
     bulid(kl,s,mid);
     bulid(kr,mid+1,t);
    p[k].max=MAX(p[kl].max,p[kr].max);
    p[k].min=MIN(p[kl].min,p[kr].min);
    }
}
int query_max(int k,int s,int t)
{
    if(s<=p[k].l&&t>=p[k].r)
        return p[k].max;
    int mid=(p[k].l+p[k].r)>>1,kl=k<<1,kr=kl+1;
    int a=0,b=0;
    if(s<=mid)  a=query_max(kl,s,t);
    if(t>mid)  b=query_max(kr,s,t);
    return MAX(a,b);
}
int query_min(int k,int s,int t)
{
    if(s<=p[k].l&&t>=p[k].r)
        return p[k].min;
    int mid=(p[k].l+p[k].r)>>1,kl=k<<1,kr=kl+1;
    int a=INT_MAX,b=INT_MAX;
    if(s<=mid)  a=query_min(kl,s,t);
    if(t>mid)  b=query_min(kr,s,t);
    return MIN(a,b);
}
int main()
{
    int i,n,m,a,b;
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&que[i]);
        bulid(1,1,n);
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d",&a,&b);
            printf("%d\n",query_max(1,a,b)-query_min(1,a,b));
        }
    }
    return 0;
}