给出一个整数数组a(正负数都有),如何找出一个连续子数组(可以一个都不取,那么结果为0),使得其中的和最大?
例如:-2,11,-4,13,-5,-2,和最大的子段为:11,-4,13。和为20。
![](http://img.51nod.com/upload/000FBEA6/08D256400BE4ECF00000000000000009.png)
看见这个问题你的第一反应是用什么算法?
(1) 枚举?对,枚举是万能的!枚举什么?子数组的位置!好枚举一个开头位置i,一个结尾位置j>=i,再求a[i..j]之间所有数的和,找出最大的就可以啦。好的,时间复杂度?
(1.1)枚举i,O(n)
(1.2)枚举j,O(n)
(1.3)求和a[i..j],O(n)
大概是这样一个计算方法:
for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = i; j <= n; j++) { int sum = 0; for(int k = i; k <= j; k++) sum += a[k]; max = Max(max, sum); } }
所以是O(n^3), 复杂度太高?降低一下试试看?
(2) 仍然是枚举! 能不能在枚举的同时计算和?
(2.1)枚举i,O(n)
(2. 2)枚举j,O(n) ,这里我们发现a[i..j]的和不是a[i..j – 1]的和加上a[j]么?所以我们在这里当j增加1的时候把a[j]加到之前的结果上不就可以了么?对!所以我们毫不费力地降低了复杂度,得到了一个新地时间复杂度为O(n^2)的更快的算法。
(2.1)枚举i,O(n)
(2. 2)枚举j,O(n) ,这里我们发现a[i..j]的和不是a[i..j – 1]的和加上a[j]么?所以我们在这里当j增加1的时候把a[j]加到之前的结果上不就可以了么?对!所以我们毫不费力地降低了复杂度,得到了一个新地时间复杂度为O(n^2)的更快的算法。
大概是这样一段代码:
for(int i = 1; i <= n; i++) { int sum = 0; for(int j = i; j <= n; j++) { sum += a[j]; max = Max(max, sum); } }
是不是到极限了?远远不止!
我们从中间切开数组,原数组的最大子段和要么是两个子数组的最大子段和(分), 要么是跨越中心分界点的最大子段和(合)。 那么跨越中心分界点的最大子段合怎么计算呢?仍然是枚举! 从中心点往左边找到走到哪里可以得到最大的合,再从中心点往右边检查走到哪里可以得到最大的子段合,加起来就可以了。可见原来问题之所以难,是因为我们不知道子数组从哪里开始,哪里结束,没有“着力点”,有了中心位置这个“着力点”,我们可以很轻松地通过循环线性时间找到最大子段和。
于是算法变成了
(3.1)拆分子数组分别求长度近乎一半的数组的最大子段和sum1, sum2
时间复杂度 2* T(n / 2)
(3.2)从中心点往两边分别分别找到最大的和,找到跨越中心分界点的最大子段和sum3 时间复杂度 O(n)
那么总体时间复杂度是T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(nlogn), 又优化了一大步,不是吗?
还能优化吗?再想想,别放弃!
我们在解法(3)里需要一个“着力点”达到O(n)的子问题时间复杂度,又在解法(2)里轻易地用之前的和加上一个新的元素得到现在的和,那么“之前的和”有那么重要么?如果之前的和是负数呢?显然没用了吧?我们要一段负数的和,还不如从当前元素重新开始了吧?
再想想,如果我要选择a[j],那么“之前的和”一定是最大的并且是正的。不然要么我把“之前的和”换成更优,要么我直接从a[j]开始,不是更好么?
动态规划大显身手。我们记录dp[i]表示以a[i]结尾的全部子段中最大的和。我们看一下刚才想到的,我取不取a[i – 1],如果取a[i – 1]则一定是取以a[i – 1]结尾的子段和中最大的一个,所以是dp[i – 1]。 那如果不取dp[i – 1]呢?那么我就只取a[i]孤零零一个好了。注意dp[i]的定义要么一定取a[i]。 那么我要么取a[i – 1]要么不取a[i -1]。 那么那种情况对dp[i]有利? 显然取最大的嘛。所以我们有dp[i] = max(dp[i – 1] + a[i], a[i]) 其实它和dp[i] = max(dp[i – 1] , 0) + a[i]是一样的,意思是说之前能取到的最大和是正的我就要,否则我就不要!初值是什么?初值是dp[1] = a[1],因为前面没的选了。
那么结果是什么?我们要取的最大子段和必然以某个a[i]结尾吧?那么结果就是max(dp[i])了。
这样,我们的时间复杂度是O(n),空间复杂度也是O(n)——因为要记录dp这个数组。
再想想,如果我要选择a[j],那么“之前的和”一定是最大的并且是正的。不然要么我把“之前的和”换成更优,要么我直接从a[j]开始,不是更好么?
动态规划大显身手。我们记录dp[i]表示以a[i]结尾的全部子段中最大的和。我们看一下刚才想到的,我取不取a[i – 1],如果取a[i – 1]则一定是取以a[i – 1]结尾的子段和中最大的一个,所以是dp[i – 1]。 那如果不取dp[i – 1]呢?那么我就只取a[i]孤零零一个好了。注意dp[i]的定义要么一定取a[i]。 那么我要么取a[i – 1]要么不取a[i -1]。 那么那种情况对dp[i]有利? 显然取最大的嘛。所以我们有dp[i] = max(dp[i – 1] + a[i], a[i]) 其实它和dp[i] = max(dp[i – 1] , 0) + a[i]是一样的,意思是说之前能取到的最大和是正的我就要,否则我就不要!初值是什么?初值是dp[1] = a[1],因为前面没的选了。
那么结果是什么?我们要取的最大子段和必然以某个a[i]结尾吧?那么结果就是max(dp[i])了。
这样,我们的时间复杂度是O(n),空间复杂度也是O(n)——因为要记录dp这个数组。
算法达到最优了吗? 好像是!还可以优化!我们注意到dp[i] = max(dp[i - 1], 0) + a[i], 看它只和dp[i – 1]有关,我们为什么要把它全记录下来呢?为了求所有dp[i]的最大值?不,最大值我们也可以求一个比较一个嘛。
我们定义endmax表示以当前元素结尾的最大子段和,当加入a[i]时,我们有endmax’ = max(endmax, 0) + a[i], 然后再顺便记录一下最大值就好了。
老生常谈的问题来了。我们如何找到一个这样的子段?请看上面的为伪代码endmax = max(endmax, 0) + a[i], 对于endmax它对应的子段的结尾显然是a[i],我们怎么知道这个子段的开头呢? 就看它有没有被更新。也就是说如果endmax’ = endmax + a[i]则对应子段的开头就是之前的子段的开头。否则,显然endmax开头和结尾都是a[i]了,让我们来改一下伪代码:
这里我们直接用end作为循环变量,通过更新与否决定start是否改变。
总结:通过不断优化,我们得到了一个时间复杂度为 O(n),空间复杂度为O(1)的简单的动态规划算法。动态规划,就这么简单!优化无止境!
我们定义endmax表示以当前元素结尾的最大子段和,当加入a[i]时,我们有endmax’ = max(endmax, 0) + a[i], 然后再顺便记录一下最大值就好了。
伪代码如下;(数组下标从1开始)
endmax = answer = a[1] for i = 2 to n do endmax = max(endmax, 0) + a[i] answer = max(answer, endmax) endfor
时间复杂度?O(n)!空间复杂度?O(1)! 简单吧?我们不仅优化了时间复杂度和空间复杂度,还使代码变得简单明了,更不容易出错。
老生常谈的问题来了。我们如何找到一个这样的子段?请看上面的为伪代码endmax = max(endmax, 0) + a[i], 对于endmax它对应的子段的结尾显然是a[i],我们怎么知道这个子段的开头呢? 就看它有没有被更新。也就是说如果endmax’ = endmax + a[i]则对应子段的开头就是之前的子段的开头。否则,显然endmax开头和结尾都是a[i]了,让我们来改一下伪代码:
start = 1 answerstart = asnwerend = 1 endmax = answer = a[1] for end = 2 to n do if endmax > 0 then endmax += a[end] else endmax = a[end] start = end endif if endmax > answer then answer = endmax answerstart = start answerend = end endif endfor
总结:通过不断优化,我们得到了一个时间复杂度为 O(n),空间复杂度为O(1)的简单的动态规划算法。动态规划,就这么简单!优化无止境!
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:整数序列的长度N(2 <= N <= 50000) 第2 - N + 1行:N个整数(-10^9 <= A[i] <= 10^9)
输出
输出最大子段和。
输入示例
6 -2 11 -4 13 -5 -2
输出示例
20
请选取你熟悉的语言,并在下面的代码框中完成你的程序,注意数据范围,最终结果会造成Int32溢出,这样会输出错误的答案。
不同语言如何处理输入输出,请查看下面的语言说明。
1 def max(a,b): 2 if a>b: 3 return a 4 else: 5 return b 6 7 n=int(input().split()[0]) 8 endmax=0 9 ans=-10000000000 10 for i in range(n): 11 a=int(input().split()[0]) 12 endmax=max(0,endmax)+a 13 ans=max(ans,endmax) 14 15 print(ans)