动态规划6-背包问题

有n件物品，第i件物品(I = 1,2,3…n)的价值是vi, 重量是wi,我们有一个能承重为m的背包，我们选择一些物品放入背包，显然放入背包的总重量不超过m。我们要求选择物品的总价值最大，请问如何选择？这里我们假设所有出现的数都是正整数。

第一想法是？ 

（1） 枚举？万能的枚举啊。但对于n件物品，每件都可以选择取或者不取，总的可能性有2n, n = 30就大约已经有10亿种可能了！枚举所有可能选择一种不超过背包承重并且价值最大的物品组合，枚举量太大了。

（2） 贪心？ 嗯，有点意思。先选最贵重的物品？找个反例：

n = 3, m = 3
v = （2，2，3）
w = （1，2，3）

按照先选贵重物品的策略，会先选择价值为3的那个，并且背包装满了，但是如果我们选取前两个物品，总价值可以达到4。
可能你已经想到了，考虑“性价比”，先选取“性价比”高的。性价比怎么定义呢？用价值除以重量！先选取单位重量价值最大的物品试试？

再举个例子：

n = 3, m = 7
v = （2，3，4）
w = （3，4，5）

按我们的方法因为2/3 <  3/4 < 4 / 5，我们先选择第三件物品，但是选了它之后别的东西放不下了！总价值是4，但如果我们选择前两件物品可以拿到总价值5。可见这两种贪心法是不行的。如果你有别的贪心策略，也可以试试，万一成功了呢？

（3） 试试动态规划？

 

我们从1-n一件一件选择物品，为什么要记录之前选择了哪些物品呢？ 因为我们要计算重量和价值，那我们能不能只记录重量和价值呢？可以的。
令f(i，j)表示选决定了前i件物品，重量恰好为j的时候能获得的最大价值。
假设我们已经知道了全部的f(i-1，*)的值，如何求f(i，*)，换句话说我们有了状态表示还不够，如何求出递推式？
对f(i,j)如果我们不选取第i件物品，则显然f(i, j) = f(i – 1,j)
如果我们要选取第i件物品，那么前i – 1件物品必须要达到j - wi且价值最大。由我们对f的定义，有f(i,j) = f(i-1,j - wi) + vi, 那么我们究竟选不选第i件物品呢？只好看哪个大了值大了，所以由

f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi)

当然只有j>= wi的时候我们才有选择第i件物品的权力。
那么初值是什么呢？f(0,*)，一件物品也不选的时候，显然重量只能是0，其他的重量都不存在，我们用负无穷来表示不可能，因为求的是最大价值嘛。
那么，我们整理一下我们的递推式子和初值：

 

    

那么我们求的值是什么呢？ 回想f的定义，最终的答案是背包要装的物品价值最大。那么答案应该是max{f[n][i]}  (0<=i<=n)  注意这里i可以等于0——如果背包一件物品都容纳不了呢？

至此我们的问题得到了解答。分析下复杂度，我们的f第一维显然只能

到n，第二维能到多大呢？最大也就是背包的容量，再大没意义，全是-∞了。那么我们的空尽复杂度是O(n * m),我们求这些值的时候，每个值最多只从之前求的两个值比较得到结果，所以时间复杂度也是O(n * m)。前面提到的枚举算法时间复杂度是O(2^n),虽然我们不能得出动态规划算法更快的结论，但通常认为m不太大。

回到老问题，我们如何得到具体选出哪些物品？惯用伎俩了，看f(i,j)到底是由f(i-1,j)得到的，还是由, f(i-1,j - wi) + vi得到的，从最终结果倒推回去，得到一个最优解。

优化？我们看一下这个递推式子核心就是f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - w_i) + v_i), 看一下f(i,*)只与f(i-1,*)相关，再仔细看看我们的第维j，只和更小的值相关，我们可以省掉一维i，然后倒着循环j,用旧的值更新新的值，这时f一部分是旧的值f(i-1,*)，一部分是新的值f(i,*)。更具体地说小于j地是旧值，其余是新值。

核心伪代码：

f(0) = 0
f(1..m) = -∞
for i = 1 to n do
   for j = m downto wi do
       f(j) = max(f(j), f(j - wi))
   endfor
endfor

所求结果是max{f(0..m)}

注意我们循环j只到w_i，因为再小的j会导致我们无法选择第i件物品，这时我们直接使用不用第i件物品的旧值就好啦。简单吧？

那么现在，时间复杂度时不变的，空间复杂度降低O(m)了。

们尝试换一种状态表示？ 我们令f(i,j)表示决定了前i件物品，总重量不超过j时能获得的最大价值。仔细想想递推式是不变的，那么初值呢？如果初值不变，f就没变化了……i＝ 0时，总重量时0，又因为0不超过任何整数，所以根据定义初值是f(0,*) = 0
那么最终结果呢？根据定义，最终结果是f(n,m)而没有必要再一串数里取最大了。可见即使递推式相同，初值不同也会定义不同的函数，请不要忽略初值的作用啊。同样我们可以优化掉第一维。

核心伪代码：

 

初值f(0..m) = 0
for i = 1 to n do
    for j = m downto wi do
        f(j) = max(f(j), f(j - wi))
    endfor
endfor

 

所求结果是f(m)

再换一种状态表示？刚才讲了，我们有重量和价值两个指标，那么我们令f(i,j)是决定了前i件物品，总价值恰好是j时的最小重量，那么经过类似的分析，我们可以写出这样的初值和递推式：

 

    

那结果是什么呢？
根据定义结果是max{x| f(n, x) <= m}, 同样我们可以优化掉一维的空间复杂度。那么时间复杂度是什么呢？ O(n * sum(vi)) sum(vi)表示所有vi的和，也是第二维有意义的大小。

同样我们也可以重新定义状态为f(i,j)是决定了前i件物品，总价值不超过j时的最小重量，则递推式不变，初值
f(0,1.. sum(vi))) = 0

最终的结果也一样……还是要找到max{x| f(n, x) <= m}。
可见，动态规划问题状态表示十分灵活，不同的状态表示会有不同的解决方法。努力取发现吧！

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

 

输入

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的数量，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 10000)
第2 - N + 1行，每行2个整数，Wi和Pi，分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)

输出

 

输出可以容纳的最大价值。

 

输入示例

3 6
2 5
3 8
4 9

输出示例

14

def array(n):
    a=[]
    for i in range(n):
        a.append(0)
    return a
def max(x,y):
    if x>y:
        return x
    else:
        return y
    
line=input().split()
n=int(line[0])
v=int(line[1])
w=[0]
p=[0]
f=array(v+1)
for i in range(n):
    line=input().split()
    w.append(int(line[0]))
    p.append(int(line[1]))
for i in range(1,n+1):
    for j in range(v,w[i]-1,-1):
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+p[i])
print(f[v])