最近点对问题学习笔记

最近点对问题学习笔记

最近点对问题，就是在一个点集中找到最近的一对点的距离。

先看一道例题

AcWing119

在题解的帮助下，我终于A了此题。

题目大意就是有n个特工和n个核电站，求最近的任意一个特工到任意一个核电站的距离。

首先我们只要将点分为两组，同组的点之间距离为无穷大，就可以将本题转换为最近点对问题。

最近点对问题如何解呢？

第一时间想到的是n²的暴力，但无疑是要超时的。

于是我们需要用分治来优化一下。

首先在一般情况下，最近两个点的横坐标的差是较小的，我们可以对于横坐标进行分治。

 

如图，以横坐标为第一关键字排序后，将所有点分成两部分（至于中间那个随便分到哪块）。

很显然最短距离是在左块的最短距离和右块的最短距离，当然也可能不同块的点的距离，比如说图中的ab。

前两种都是非常方便实现的，只需要不断分治就好。麻烦的是第三种情况。

我们可以先将前两种的最小值ans求出，以横坐标和中间点差小于等于ans的才可能是第三种情况。

于是我们只需要求这些点之中最短距离。

对于这些点我们可以直接用暴力做，一般情况下应该不会很大。

当然，如果纵坐标的距离大于ans，也是不可能是最短距离的。

    	sort(b + 1, b + cnt + 1, cmp2);
	rep(i, 1, cnt)
		rep(j, i + 1, cnt){
			if(b[j].y >= b[i].y + ans) break;
			ans = min(ans, dist(b[i], b[j]));
		}

 可以将纵坐标为第一关键字排序，进行剪枝。

放上我错了好几次的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#define rep(x, l, r) for(int x = l; x <= r; x++)
#define repd(x, r, l) for(int x = r; x >= l; x--)
#define clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define MAXN 200005
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)x.size())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int, int> pii;
const int INF = 1 << 30;
const int p = 1000000009;
int lowbit(int x){ return x & (-x);}
int fast_power(int a, int b){ int x; for(x = 1; b; b >>= 1){ if(b & 1) x = 1ll * x * a % p; a = 1ll * a * a % p;} return x % p;}

int n;
struct node{
    double x, y;
    bool col;
}a[MAXN], b[MAXN];

bool cmp1(node a, node b){
    if(a.x == b.x) return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}

bool cmp2(node a, node b){
    if(a.y == b.y) return a.x < b.x;
    return a.y < b.y;
}

double dist(node a, node b){
    if(a.col == b.col) return INF;
    return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}

double work(int l, int r){
    if(l == r) return INF;
    if(l == r - 1) return dist(a[l], a[r]);
    int mid = (l + r) >> 1;
    double ans = min(work(l, mid), work(mid + 1, r));
    int cnt = 0;
    rep(i, l, r)
        if(a[i].x >= a[mid].x - ans && a[i].x <= a[mid].x + ans) b[++cnt] = a[i];
    sort(b + 1, b + cnt + 1, cmp2);
    rep(i, 1, cnt)
        rep(j, i + 1, cnt){
            if(b[j].y >= b[i].y + ans) break;
            ans = min(ans, dist(b[i], b[j]));
        }
    return ans;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        scanf("%d", &n);
        rep(i, 1, n){
            scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
            a[i].col = 0;
        }
        rep(i, n + 1, 2 * n){
            scanf("%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y);
            a[i].col = 1;
        }
        n *= 2;
        sort(a + 1, a + n + 1, cmp1);
        double ans = work(1, n);
        printf("%.3f
", ans);
    }
    return 0;
}